9.3 直线与平面垂直●知识梳理1.如果一条直线与平面相交并且与平面内的所有直线都垂直，那么就说这条直线与这个平面垂直.2.直线与平面垂直的判定：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.3.直线与平面垂直的性质：如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线平行.●点击双基1.“直线 l 垂直于平面 α 内的无数条直线”是“l⊥α”的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：B2.给出下列命题，其中正确的两个命题是① 直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 ②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 ③直线 m⊥平面 α，直线 n⊥m，则 n∥α ④a、b是异面直线，则存在唯一的平面 α，使它与 a、b 都平行且与 a、b 距离相等A.①② B.②③ C.③④ D.②④解析：①错误.如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交.② 正确.如下图，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β 且 E、F 分别为 AB、CD 的中点，过 C 作 CG∥AB 交平面 β 于G，连结 BG、GD.设 H 是 CG 的中点，则 EH∥BG，HF∥GD.∴EH∥平面 β，HF∥平面 β.∴平面 EHF∥平面 β∥平面 α.∴EF∥α，EF∥β.③ 错误.直线 n 可能在平面 α 内.④ 正确.如下图，设 AB 是异面直线 a、b 的公垂线段，E 为 AB 的中点，过 E 作 a′∥a，b′∥b，则 a′、b′确定的平面即为与 a、b 都平行且与 a、b 距离相等的平面，并且它是唯一确定的.答案：D3.在正方形 SG1G2G3中，E、F 分别是 G1G2、G2G3的中点，D 是 EF 的中点，沿 SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为 G，那么，在四面体 S—EFG 中必有A.SG⊥平面 EFG B.SD⊥平面 EFGC.FG⊥平面 SEFD.GD⊥平面 SEF1解析：注意折叠过程中，始终有 SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即 SG⊥GE，SG⊥GF，所以 SG⊥平面 EFG.选 A.答案：A4.在直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，当底面四边形 ABCD 满足条件_____________时，有A1C⊥B1D1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）答案：A1C1⊥B1D1或四边形 A1B1C1D1为菱形等5.设正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱长为 1，则（1）A 点到 CD1的距离为________；（2）A 点到 BD1的距离为________；（3）A 点到面 BDD1B1的距离为_____________；（4）A 点到面 A1BD ...
