9.6 空间向量及其运算（B）●知识梳理空间两个向量的加法、减法法则类同于平面向量，即平行四边形法则及三角形法则.a·b=|a||b|cos〈a，b〉.a2=|a|2.a 与 b 不共线，那么向量 p 与 a、b 共面的充要条件是存在实数 x、y，使 p=xa+yb.a、b、c 不共面，空间的任一向量 p，存在实数 x、y、z，使 p=xa+yb+zc.●点击双基1.在以下四个式子中正确的有a+b·c，a·（b·c），a（b·c），|a·b|=|a||b|A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个解析：根据数量积的定义，b·c 是一个实数，a+b·c 无意义.实数与向量无数量积，故a·（b·c）错，|a·b|=|a||b||cos〈a，b〉|，只有 a（b·c）正确.答案：A2.设向量 a、b、c 不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是A.{a+b，b－a，a}B.{a+b，b－a，b}C.{a+b，b－a，c}D.{a+b+c，a+b，c}解析：由已知及向量共面定理，易得 a+b，b－a，c 不共面，故可作为空间的一个基底，故选C.答案：C3.在平行六面体 ABCD—A′B′C′D′中，向量、、是A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量解析： －==，∴、、共面.答案：C4.已知 a=（1，0），b=（m，m）（m＞0），则〈a，b〉=_____________.答案：45°5.已知四边形 ABCD 中，=a－2c，=5a+6b－8c，对角线 AC、BD 的中点分别为 E、F，则=_____________.解析： =++，又=++，两式相加，得 2=（+）+（+）+（+）. E 是 AC 的中点，故+=0.同理，+=0.∴2= +=（a－2c）+（5a+6b－8c）=6a+6b－10c.∴=3a+3b－5c.答案：3a+3b－5c●典例剖析【例 1】 证明空间任意无三点共线的四点 A、B、C、D 共面的充分必要条件是：对于空间任一点 O，存在实数 x、y、z 且 x+y+z=1，使得=x+y +z.剖析：要寻求四点 A、B、C、D 共面的充要条件，自然想到共面向量定理.解：依题意知，B、C、D 三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点 A、B、C、D 共面对1空间任一点 O，存在实数 x1、y1，使得=+x1 +y1=+x1（－）+y1（－）=（1－x1－y1）+x1+y1，取 x=1－x1－y1、y=x1、z=y1，则有=x+y+z，且 x+y+z=1.特别提示向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础.共（线）面向量基本定理给出了向量共（线）面的充要条件，可用以证明点共（线）面.本题的结论，可作为证明空间四点共面的定理使用.【例 2】 在平行四边形 ABCD 中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线 AC 折起，...
