9.10 棱柱与棱锥●知识梳理1.有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫做棱柱.侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.2.棱柱的各侧棱相等，各侧面都是平行四边形；长方体的对角线的平方等于由一个顶点出发的三条棱的平方和.3.一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥.底面是正多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.4.棱锥中与底面平行的截面与底面平行，并且它们面积的比等于对应高的平方比.在正棱锥中，侧棱、高及侧棱在底面上的射影构成直角三角形；斜高、高及斜高在底面上的射影构成直角三角形.●点击双基1.设 M=｛正四棱柱｝，N=｛直四棱柱｝，P=｛长方体｝，Q=｛直平行六面体｝，则四个集合的关系为A.MPNQ B.MPQNC.PMNQD.PMQN解析：理清各概念的内涵及包含关系.答案：B2.如图，在斜三棱柱 ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在A.直线 AB 上 B.直线 BC 上C.直线 AC 上D.△ABC 内部解析：由 AC⊥AB，AC⊥BC1，知 AC⊥面 ABC1，从而面 ABC1⊥面 ABC，因此，C1在底面 ABC 上的射影 H 必在两面的交线 AB 上.答案：A3.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使 BD=a，则三棱锥 D—ABC 的体积为A. B. C. a3 D. a3答案：D4.（2003 年春季上海）若正三棱锥底面边长为 4，体积为 1，则侧面和底面所成二面角的大小等于_______.（结果用反三角函数值表示）解析：取 BC 的中点 D，连结 SD、AD，则 SD⊥BC，AD⊥BC.1∴∠SDA 为侧面与底面所成二面角的平面角，设为 α.在平面 SAD 中，作 SO⊥AD 与 AD 交于O，则 SO 为棱锥的高.AO=2DO，∴OD=.又 VS—ABC=·AB·BC·sin60°·h=1，∴h=.∴tanα===.∴α=arctan.答案：arctan5.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为__________.解析：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比，S 侧 1∶S 侧 2∶S 侧 3=1∶4∶9，所以锥体被分成三部分的侧面积之比为 1∶3∶5.答案：1∶3∶5●典例剖析【例 1】 已知 E、F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱 A1A、CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF 的体积.解法一：连结 A1C1、B1D1交于 O1，过 O1作 O1H⊥B1D 于 H， EF∥A1C1，∴A1C1∥平面 B1EDF.∴C1到平面 B1EDF...
