多面体概念、性质及其应用[复习重点]：系统梳理落实多面体的有关概念、性质以及运用概念性质分析处理以多面体为依托的立体几何基本问题的基本方法。 [复习难点]：面积、体积计算中角度、方位的转换；“等体积法”、“割补法”的灵活运用；锥、台关系及截面问题的分析处理。 [范例分析]： 例 1．过正方体的每三个顶点都可以确定一个平面，其中能与这个正方体的 12 条棱所成角都相等的不同平面有几个？ 分析：由正方体的概性，12 条棱中可分为 3 组，每组的四条棱互相平行，要找出与12 条棱成角都相等的平面，只需找出与共点的三条棱成角的平面即可。 解：（法一）正方体的每个顶点和所在面的面对角线对应一个正三棱锥，如 A 点对应正三棱锥 A-A1BD。这个正三棱锥的底面 A1BD 是合条件平面，8 个顶点对应 8 个平面，即满足题设要求的平面有 8 个。 （法二）正方体 8 个顶点，每三点可以确定一个平面，共 =56 个，其中 6 个对角面中每三点所确定的平面与每个表面中每三个点所确定的平面均不符合条件，因此合条件的平面的个数是： -6· =8（个） [评注]：理解多面体的概念，是指不仅要知道这些概念，还应能灵活地运用这些概念所蕴含的性质正确推理，尤其是正方体，三棱锥的有关概性应更为关注。如本题关键的展开就在于运用正方体的性质把研究与 12 条棱或等角的问题简化为只研究与共点的三条棱成等角的问题。 例 2．如图，三棱锥 P-ABC 中，PA=a, AB=AC=2a, ∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°, 求这个三棱锥的体积。 分析：由 AB=AC，∠BAC=60°→ΔABC 为正三角形，由∠PAB=∠PBC，点 P 在面 ABC上的射影必在∠BAC 的角平分线上。 解（法一）（直接用公式）： 作 BC 中点 D，连结 AD，PD；过 P 作 PO⊥平面 ABC 于 O， ∠PAB=∠PAC，AB=AC，∴ΔPAB≌ΔPAC，AD⊥BC， ∴ PB=PC， ∴PD⊥BC，∴ BC⊥平面 PAD， ∴平面 ABC⊥平面 PAD， ∴ O 点必在 AD 上，过 O 作 OE⊥AB 于 E，连结 PE，则 PE⊥AB， 在 RtΔPAE 中，∠PAE=60°，PA=a， ∴ PE= a, AE= , OE=AE·tan30°, 在 RtΔPOE 中，PO= = a, 又易知 SΔABC= a2, ∴ VP-ABC= ·SΔABC·PO= a3。 解（法二）（利用等积转换法）： 在 ΔPAB 中，PA=a, AB=2a, ∠PAB=60°, ∴ PB2=a2+(2a)2-2·a·(2a)·cos60°=3a2, ∴ ΔPAB 是直角三角形，PA⊥PB，同理可证 PA⊥PC，又 PB∩PC=P， ...
