第 2 课时 双 曲 线例 2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为 12 m，上口半径为 13 m，下口半径为 25 m，高 55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到 1m）.解：如图 8—17，建立直角坐标系 xOy，使 A 圆的直径 AA′在 x 轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径 CC′、BB′平行于 x 轴，且=13×2 (m)，=25×2 (m).设双曲线的方程为 （a>0,b>0）令点 C 的坐标为（13，y），则点 B 的坐标为（25，y－55）.因为点 B、C 在双曲线上，所以 解方程组由方程（2）得 （负值舍去）.代入方程（1）得化简得 19b2+275b－18150=0 （3）解方程（3）得 b≈25 (m).所以所求双曲线方程为：例 3. 中，固定底边 BC，让顶点 A 移动，已知，且，求顶点 A的轨迹方程．解：取 BC 的中点 O 为原点，BC 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，因为，所以 B()，．利用正弦定理，从条件得，即．由双曲线定义知，点 A 的轨迹是 B、C 为焦点，焦距为 4，实轴长为 2，虚轴长为的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为()．变式训练 3：已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为 l.典型例题基础过关（1）求双曲线的方程；（2）直线 l 过坐标原点 O 且和双曲线交于两点 M、N，点P 为双曲线上异于 M、N 的一点，且直线 PM，PN 的斜率均存在，求 kPM·kPN的值.（1）解：依题意有：可得双曲线方程为 （2）解：设所以 例 4. 设双曲 线 C：的左、右顶点分别为 A1、A2，垂直 于 x 轴的直线 m 与双曲线C 交于不同的两点 P、Q。（1）若直线 m 与 x 轴正半轴的交点 为 T，且，求点 T 的坐标；（2）求直线 A1P 与直线 A2Q 的交点 M 的轨迹 E 的方程；（3）过点 F（1，0）作直线 l 与（Ⅱ）中的轨迹 E 交于不同的两点 A、B，设，若（T 为（Ⅰ）中的点）的取值范围。解：（1）由题，得，设则由 …………①又在双曲线上，则 …………②联立①、②，解得 由题意， ∴点 T 的坐标为（2，0） …………3 分（2）设直线 A1P 与直线 A2Q 的交点 M 的坐标为（x，y）由 A1、P、M 三点共线，得 …………③ …………1 分由 A2、Q、M 三点共线，得 …………④ …………1 分联立③、④，解得 …………1 分 在双曲线上，∴∴轨迹 E 的方程为 …………1 分（3）容易验证直线 l 的斜率不为 ...
