14.3 圆中的比例线段与圆内接四边形考情分析1．考查相交弦定理，切割线定理的应用．2．考查圆内接四边形的判定与性质定理．基础知识1．圆中的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦 AB、CD 相交于圆内点 P(1)PA·PB＝PC · PD ；(2)△ACP∽△DBP(1)在PA、PB、PC、PD 四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA 切⊙O 于A，PBC 是⊙O的割线(1)PA2＝PB · PC ；(2)△PAB∽△PCA (1)已知PA、PB、PC 知二可求一；(2)求解 AB、AC割线定理PAB、PCD 是⊙O 的割线 (1)PA·PB＝PC · PD；(2)△PAC∽△PDB(1)求线段PA、PB、PC、PD 及AB、CD；(2)应用相似求AC、BD2.圆内接四边形(1)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补．(2)圆内接四边形判定定理：① 如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆；② 若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．题型一 相交弦定理的应用【例 1】如图，半径为 2 的⊙O 中，∠AOB＝90°，D 为 OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E，则线段 DE 的长为________． 解析 延长 DO 交圆 O 于另一点 F，易知 OD＝1，则 AD＝＝.由相交弦定理得，AD·DE＝BD·DF，即·DE＝1×3，DE＝.答案 【变式 1】如图，AB、CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦， 它们相交于 AB 的中点 P，PD＝，∠OAP＝30°，则 CP＝________. 解析 依题 AP＝PB＝a，由 PD·CP＝AP·PB，得 CP＝＝a.答案 a题型二 切割线定理的应用【例 2】如图所示，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点 O 的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC 的平分线与 BC 和⊙O 分别交于点 D 和 E，求 AD·AE 的值． 解 如图所示，连接 CE， PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线， ∴PA2＝PB·PC.又 PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15. PA 切⊙O 于 A，∴∠PAB＝∠ACP.又∠P 为公共角，∴△PAB∽△PCA.∴＝＝＝. BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC2＋AB2＝BC2＝225.∴AC＝6，AB＝3.又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴＝.∴AD·AE＝AB·AC＝3×6＝90.【变式 2】 如图，⊙O 与⊙ O′外切于 P，两圆公切线 AC，分别切⊙O、⊙O′于 A、C 两点，AB 是⊙O 的直径，BE 是⊙O′的切线，E 为切点，连 AP、PC、BC. 求证：AP·BC＝BE·AC.证明 由题意可知∠APC＝90°，连 BP，则∠APB＝90...
