2.3 函数的奇偶性典例精析题型一 函数奇偶性的判断【例 1】判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝；(2)f(x)＝ ).0(),0(22xxxxxx【解析】(1)由 02|2|,0122xx得定义域为(－1,0)∪(0,1)，这时 f(x)＝＝－，因为 f(－x)＝－＝－＝f(x)，所以 f(x)为偶函数.(2)当 x＜0 时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，当 x＞0 时，－x＜0，则 f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)，所以对任意 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有 f(－x)＝－f(x)，故 f(x)为奇函数.【点拨】判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析f(－x)与 f(x)的关系，必要时可对函数的解析式进行化简变形.【变式训练 1】(2010 广东)若函数 f(x)＝3x＋x3与 g(x)＝3x－x3的定义域均为 R，则( )A. f (x)与 g(x)均为偶函数B. f (x)为偶函数，g(x)为奇函数C. f (x)与 g(x)均为奇函数D. f (x)为奇函数，g(x)为偶函数【解析】B.题型二 由奇偶性的条件求函数的解析式【例 2】若函数 f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，求 f(x)的解析式.【解析】因为函数 f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，所以 f(0)＝0，从而得 m＝0. 又 f()＋f(－)＝0，解得 n＝0.所以 f(x)＝(－1＜x＜1).【变式训练 2】已知定义域为 R 的函数 f(x)＝是奇函数，求 a，b 的值.【解析】因为 f(x)是奇函数，所以 f(0)＝0，即＝0，解得 b＝1，所以 f(x)＝1221xxa.又由 f(1)＝－f(－1)，所以＝－，解得 a＝2. 故 a＝2，b＝1.题型三 函数奇偶性的应用【例 3】设函数 f(x)的定义域为 R，对于任意实数 x，y 都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当 x＞0 时，f(x)＞0 且 f(2)＝6.(1)求证：函数 f(x)为奇函数；(2)求证：函数 f(x)在 R 上是增函数；(3)在区间[－4,4]上，求 f(x)的最值.【解析】(1)证明：令 x＝y＝0，得 f(0)＝f(0)＋f(0)，所以 f(0)＝0，令 y＝－x，有 f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以 f(－x)＝－f(x)，所以函数 f(x)为奇函数.1(2)证明：设 x1，x2∈R，且 x1＜x2，则 f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，又 x＞0 时，f(x)＞0，所以 f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，即 f(x2)＞f(x1)，所以函数 f(x)在 R 上是增函数.(3)因为函数 f(x)在 R 上是增函数，所以 f(x)在区间[－4,4]上也是增函数，所以函数 f(x)的最大值为 f(4)，最小值为 f(－4)，因 为 f(2)＝6，所...
