2.6 对数与对数函数典例精析题型一 对数的运算【例 1】计算下列各题：(1)2(lg)2＋lg lg 5＋；(2).【解析】(1)原式＝2×(lg 2)2＋lg 2lg 5＋＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝1.(2)原式＝＝＝1.【点拨】运用对数的运算性质以及式子的恒等变形.【变式训练 1】已知 log89＝a，log25＝b，用 a，b 表示 lg 3 为 .【解析】由 ba2 lg2 lg1,2 lg33 lg2⇒lg 3＝.题型二 对数函数性质的应用【例 2】设函数 f(x)＝loga(x－2) (a＞0，且 a≠1).(1)求函数f(x)经过的定点坐标；(2)讨论函数 f(x)的单调性；(3)解不等式 log3(x－2)＜1.【解析】(1)当 x＝3 时，loga1＝0 恒成立，所以函数 f(x)所经过的定点坐标为(3,0).(2)当 a＞1 时，函数 f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递增函数；当 0＜a＜1 时，函数 f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递减函数.(3)不等式 log3(x－2)＜1 等价于不等式组 ,32,02xx解得 2＜x＜5，所以原不等式的解集为(2,5).【变式训练 2】已知函数 f(x)＝ 1,log,1,1)2(xxxxaa若 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为 .【解析】要保证函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则分段函数应该在各自定义域内分别单调递增.若 f(x)＝(a－2)x－1 在区间(－∞，1]上单调递增，则 a－2＞0，即 a＞2.若 f(x)＝logax 在区间(1，＋∞)上单调递增，则 a＞1.另外要保证函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a－2)×1－1≤loga1＝0，即 a≤3.故实数 a 的取值范围为 2＜a≤3.题型三 对数函数综合应用【例 3】已知函数 f(x)＝loga(3－ax).(1)当x∈[0,2]时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由.【解析】(1)由题设知 3－ax＞0 对一切 x∈[0,2]恒成立，a＞0，且 a≠1.1因为 a＞0，所以 g(x)＝3－ax 在[0,2]上为减函数，从而 g(2)＝3－2a＞0，所以 a＜，所以 a 的取值范围为(0,1)∪(1，).(2)假设存在这样的实数 a，由题设知 f(1)＝1，即 loga(3－a)＝1，所以 a＝，此时 f(x)＝23log(3－x).当 x＝2 时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在. 【点拨】这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知...
