3.1 导数的应用(一)典例精析题型一 求函数 f(x)的单调区间【例 1】已知函数 f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)，求函数 f(x)的单调区间.【解析】函数 f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定义域是(1，＋∞).f′(x)＝2x－a－＝，① 若 a≤0，则≤1，f′(x)＝＞0 在(1，＋∞)上恒成立，所以 a≤0 时，f(x)的增区间为(1，＋∞).② 若 a＞0，则＞1，故当 x∈(1，]时，f′(x)＝≤0；当 x∈[，＋∞)时，f′(x)＝≥0，所以 a＞0 时，f(x)的减区间为(1，]，f(x)的增区间为[，＋∞).【点拨】在定义域 x＞1 下，为了判定 f′(x)符号，必须讨论实数与 0 及 1 的大小，分类讨论是解本题的关键.【变式训练 1】已知函数 f(x)＝x2＋ln x－ax 在(0,1)上是增函数，求 a 的取值范围.【解析】因为 f′(x)＝2x＋－a，f(x)在(0,1)上是增函数，所以 2x＋－a≥0 在(0,1)上恒成立，即 a≤2x＋恒成立.又 2x＋≥2(当且仅当 x＝时，取等号).所以 a≤2，故 a 的取值范围为(－∞，2].【点拨】当 f(x)在区间(a，b)上是增函数时⇒f′(x)≥0 在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时⇒f′(x)≤0 在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.题型二 求函数的极值【例 2】已知 f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在 x＝±1 时取得极值，且 f(1)＝－1.(1)试求常数 a，b，c 的值；(2)试判断 x＝±1 是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.因为 x＝±1 是函数 f(x)的极值点，所以 x＝±1 是方程 f′(x)＝0，即 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根.由根与系数的关系，得 ② ,13① ,032acab 又 f(1)＝－1，所以 a＋b＋c＝－1. ③由①②③解得 a＝，b＝0，c＝－.(2)由(1)得 f(x)＝x3－x，所以当 f′(x)＝x2－＞0 时，有 x＜－1 或 x＞1；当 f′(x)＝x2－＜0 时，有－1＜x＜1.所以函数 f(x)＝x3－x 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数.所以当 x＝－1 时，函数取得极大值 f(－1)＝1；当 x＝1 时，函数取得极小值 f(1)＝－1.【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数 f(x)来讲， f(x)在点 x＝x0 处取极值的1必要条件是 f′(x)＝0.但是， 当 x0 满足 f′(x0)＝0 时， f(x)在点 x＝x0 处却未必取得极值，只有在 x0 的两侧 f(x)的导数异号时，x0 才是 f(x)的极值点.并且如果 f′...
