3.4 定积分与微积分基本定理典例精析题型一 求常见函数的定积分【例 1】 计算下列定积分的值.(1)21 (x－1)5dx；(2) 2π0(x＋sin x)dx.【解析】(1)因为[(x－1)6]′＝(x－1)5，所以21 (x－1)5dx＝6)1(61x12＝.(2)因为(－cos x)′＝x＋sin x，所以2π0(x＋sin x)dx＝)cos2(2xx 12＝＋1.【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：① 若 f(x)是偶函数时，则aaf(x)dx＝2a0 f(x)dx；② 若 f(x)是奇函数时，则aaf(x)dx＝0.【变式训练 1】求55(3x3＋4sin x)dx.【解析】55(3x3＋4sin x)dx 表示直线 x＝－5，x＝5，y＝0 和曲线y＝3x3＋ 4sin x 所围成的曲边梯形面积的代数和，且在 x 轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号.又 f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sin x)＝－f(x).所以 f(x)＝3x3＋4sin x 在[－5,5]上是奇函数，所以 50(3x3＋4sin x)dx＝－05(3x3＋4sin x)dx，所以 55(3x3＋4sin x)dx＝ 50(3x3＋4sin x)dx＋05(3x3＋4sin x)dx＝0.题型二 利用定积分计算曲边梯形的面积【例 2】求抛物线 y2＝2x 与直线 y＝4－x 所围成的平面图形的面积.【解析】方法一：如图，1由 ,4,22xyxy得交点 A(2,2)，B(8，－4)，则 S＝02[－(－)]dx＋28[4－x－(－)]dx＝0223324x＋28)32224(232xxx＝＋＝18.方法二：S＝ 42[(4－y)－]dy＝42)61214(32yyy＝18.【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以 y 为积分变量时，应注意将曲线方程变为 x＝φ(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应 y 的取值.【变式训练 2】设 k 是一个正整数，(1＋)k 的展开式中 x3 的系数为，则函数 y＝x2 与 y＝kx－3 的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为 .【解析】Tr＋1＝C()r，令 r＝3，得 x3 的系数为 C＝，解得 k＝4.由 34,2xyxy得函数 y＝x2 与y ＝4x－3 的图象的交点的横坐标分 别为 1,3.所以阴影部分的面积为 S＝13(4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－13)313x＝.题型三 定积分在物理中的应用【例 3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为 v (t)＝1－t2，初始位置为 x0＝1，...
