4.2 平面向量的基本定理及其坐标表示典例精析题型一 平面向量基本定理的应用【例 1】如图▱ABCD 中,M,N 分别是 DC，BC 中点.已知 AM =a, AN =b,试用 a，b 表示 AB ，AD与 AC【解析】易知 AM ＝ AD ＋ DM＝ AD ＋ AB ，AN ＝ AB ＋ BN ＝ AB ＋ AD ，即 .21,21baADABABAD所以 AB ＝(2b－a)， AD ＝(2a－b).所以 AC ＝ AB ＋ AD ＝(a＋b).【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练 1】已知 D 为△ABC 的边 BC上的中点，△ABC 所在平面内有一点 P，满足 PA ＋ BP＋CP ＝0，则||||ADPD等于( )A. B. C.1 D.2【解析】由于 D 为 BC 边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知 PB ＋ PC ＝2 PD，因此结合 PA ＋ BP ＋CP ＝0 即得 PA ＝2 PD ，因此易得 P，A，D 三点共线且 D 是 PA 的中点，所以||||ADPD＝1，即选 C.题型二 向量的坐标运算【例 2】 已知 a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.(1)若 u＝3v，求 x；(2)若 u∥v，求 x.【解析】因为 a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以 u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).(1)u＝3v⇔(2x＋1，3)＝3(2－x，1)1⇔(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以 2x＋1＝6－3x，解得 x＝1.(2) u∥v ⇔(2x＋1，3)＝λ(2－x，1)⇔ 3),2(12xx ⇔(2x＋1)－3(2－x)＝0⇔x＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.【变式训练 2】已知向量 an＝(cos，sin)(n∈N*)，|b|＝1.则函数 y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2 的最大值为 .【解析】设 b＝(cos θ，sin θ)，所以 y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝(a1)2＋b2＋2(cos，sin)(cos θ，sin θ)＋…＋(a141)2＋b2＋2(cos，sin)(cos θ，sin θ)＝282＋2cos(－θ)，所以 y 的最大值为 284.题型三 平行(共线)向量的坐标运算【例 3】已知△ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，设向量 m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2).(1)若 m∥n，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若 m⊥p，边长 c＝2，角 C＝，求△ABC 的面积.【解析】(1)证明：因为 m∥n，所以 asin A＝bsin B...
