2014高考数学一轮总复习 6.5 数列的综合应用教案 理 新人教A版

6.5 数列的综合应用典例精析题型一 函数与数列的综合问题【例 1】已知 f(x)＝logax(a＞0 且 a≠1)，设 f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首项为 4，公差为 2 的等差数列.(1)设 a 是常数，求证：{an}成等比数列；(2)若 bn＝anf(an)，{bn}的前 n 项和是 Sn，当 a＝时，求 Sn.【解析】(1)f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，即 logaan＝2n＋2，所以 an＝a2n＋2，所以＝＝a2(n≥2)为定值，所以{an}为等比数列. (2)bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2，当 a＝时，bn＝(2n＋2) ·()2n＋2＝(n＋1) ·2n＋2，Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1) ·2n＋2，2Sn＝2·24＋3·25＋…＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3，两式相减得－Sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)·2n＋3＝16＋－(n＋1)·2n＋3，所以 Sn＝n·2n＋3.【点拨】本例是数列与函数综合的基本题型之一，特征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解.【变式训练 1】设函数 f(x)＝xm＋ax 的导函数 f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前 n 项和是( )A. B. C. D.【解析】由 f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1 得 m＝2，a＝1.所以 f(x)＝x2＋x，则＝＝－.所以 Sn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.故选 C.题型二 数列模型实际应用问题【例 2】某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到 2009 年底全县的绿化率已达30%，从 2010 年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积的 16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的 4%又被沙化.(1)设全县面积为 1,2009 年底绿化面积为 a1＝，经过 n 年绿化面积为 an＋1，求证：an＋1＝an＋；(2)至少需要多少年(取整数)的努力，才能使全县的绿化率达到 60%？【解析】(1)证明：由已知可得 an 确定后，an＋1 可表示为 an＋1＝an(1－4%)＋(1－an)16%，即 an＋1＝80%an＋16%＝an＋.(2)由 an＋1＝an＋有，an＋1－＝(an－)，又 a1－＝－≠0，所以 an＋1－＝－·()n，即 an＋1＝－·()n，若 an＋1≥，则有－·()n≥，即()n－1≤，(n－1)lg ≤－lg 2，(n－1)(2lg 2－lg 5)≤－lg 2，即(n－1)(3lg 2－1)≤－lg 2，所以 n≥1＋＞4，n∈N*，所以 n 取最小整数为 5，故至少需要经过 5 年的努力，才能使全县的绿化率达到 60%.【点拨】解决此类问题的关 键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数...