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2014高考数学一轮总复习 6.5 数列的综合应用教案 理 新人教A版

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6.5 数列的综合应用典例精析题型一 函数与数列的综合问题【例 1】已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),设 f(a1),f(a2),…,f(an)(n∈N*)是首项为 4,公差为 2 的等差数列.(1)设 a 是常数,求证:{an}成等比数列;(2)若 bn=anf(an),{bn}的前 n 项和是 Sn,当 a=时,求 Sn.【解析】(1)f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,即 logaan=2n+2,所以 an=a2n+2,所以==a2(n≥2)为定值,所以{an}为等比数列. (2)bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2,当 a=时,bn=(2n+2) ·()2n+2=(n+1) ·2n+2,Sn=2·23+3·24+4·25+…+(n+1) ·2n+2,2Sn=2·24+3·25+…+n·2n+2+(n+1)·2n+3,两式相减得-Sn=2·23+24+25+…+2n+2-(n+1)·2n+3=16+-(n+1)·2n+3,所以 Sn=n·2n+3.【点拨】本例是数列与函数综合的基本题型之一,特征是以函数为载体构建数列的递推关系,通过由函数的解析式获知数列的通项公式,从而问题得到求解.【变式训练 1】设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则数列{}(n∈N*)的前 n 项和是( )A. B. C. D.【解析】由 f′(x)=mxm-1+a=2x+1 得 m=2,a=1.所以 f(x)=x2+x,则==-.所以 Sn=1-+-+-+…+-=1-=.故选 C.题型二 数列模型实际应用问题【例 2】某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争,到 2009 年底全县的绿化率已达30%,从 2010 年开始,每年将出现这样的局面:原有沙漠面积的 16%将被绿化,与此同时,由于各种原因,原有绿化面积的 4%又被沙化.(1)设全县面积为 1,2009 年底绿化面积为 a1=,经过 n 年绿化面积为 an+1,求证:an+1=an+;(2)至少需要多少年(取整数)的努力,才能使全县的绿化率达到 60%?【解析】(1)证明:由已知可得 an 确定后,an+1 可表示为 an+1=an(1-4%)+(1-an)16%,即 an+1=80%an+16%=an+.(2)由 an+1=an+有,an+1-=(an-),又 a1-=-≠0,所以 an+1-=-·()n,即 an+1=-·()n,若 an+1≥,则有-·()n≥,即()n-1≤,(n-1)lg ≤-lg 2,(n-1)(2lg 2-lg 5)≤-lg 2,即(n-1)(3lg 2-1)≤-lg 2,所以 n≥1+>4,n∈N*,所以 n 取最小整数为 5,故至少需要经过 5 年的努力,才能使全县的绿化率达到 60%.【点拨】解决此类问题的关 键是如何把实际问题转化为数学问题,通过反复读题,列出有关信息,转化为数...

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