10.8 立体几何综合问题典例精析题型一 线面、面面平行与垂直【例 1】 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H 为 BC 的中点.(1)求证：FH∥平面 EDB；(2)求证：AC⊥平面 EDB；(3)求二面角 B－DE－C 的大小【解析】方法一：(综合法)(1)设AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点.连接 EG，GH，又 H 为 BC 的中点，所以 GHAB.又 EFAB，所以 EFGH.所以四边形 EFHG 为平行四边形. 所以 EG∥FH.而 EG⊂平面 EDB，所以 FH∥平面 EDB.由四边形 ABCD 为正方形，有 AB⊥BC，又 EF∥AB，所以 EF⊥BC.而 EF⊥FB，所以 EF⊥平面 BFC，所以 EF⊥FH，所以 AB⊥FH.又 BF＝FC，H 为 BC 的中点，所以 FH⊥BC.所以 FH⊥平面 ABCD. 所以 FH⊥AC.又 FH∥EG，所以 AC⊥EG.又 AC⊥BD，EG∩BD＝G，所以 AC⊥平面 EDB.(3)EF⊥FB，∠BFC＝90°，所以 BF⊥平面 CDEF.在平面 CDEF 内过点 F 作 FK⊥DE 交 DE 的延长线于 K，则∠FKB 为二面角 B－DE－C 的一个平面角.设 EF＝1，则 AB＝2，FC＝，DE＝.又 EF∥DC，所以∠KEF＝∠EDC.所以 sin∠EDC＝sin∠KEF＝.所以 FK＝EF sin∠KEF＝，tan∠FKB＝＝.所以∠FKB＝60°.所以二面角 B－DE－C 为 60°.方法二：(向量法)因为四边形 ABCD 为正方形，所以 AB⊥BC.又 EF∥AB. 所以 EF⊥BC，又 EF⊥FB，所以 EF⊥平面 BFC.所以 EF⊥FH，所以 AB⊥FH.又 BF＝FC，H 为 BC 的中点，所以 FH⊥BC.所以 FH⊥平面 ABCD.以 H 为坐标原点， HB 为 x 轴正向， HF 为 z 轴正向，建立如图所示坐标系.设 BH＝1，则 A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0).D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1).(1)设 AC 与 BD 交点为 G，连接 GE，GH，则 G(0，－1,0)，所以GE ＝(0,0,1)，又 HF ＝(0,0,1)，所以 HF ∥GE .GE⊂平面 EDB，HF 不在平面 EDB 内，1所以 FH∥平面 EBD.(2) AC ＝(－2,2,0)，GE ＝(0,0,1)， AC GE ＝0，所以 AC⊥GE.又 AC⊥BD，EG∩BD＝G，所以 AC⊥平面 EDB.(3) BE ＝(－1，－1,1)， BD ＝(－2，－2,0)，设平面 BDE 的法向量为 n1＝(1，y1，z1).则 BE n1＝－1－y1＋z1＝0， BD n1＝－2－2y1＝0，所以 y1＝－1，z1＝0，即 n1＝(1，－1,0).CD ＝(0，－2,0)， CE ＝(1，－1,1).设平面CDE 的法向量为 n...
