2014高考数学一轮总复习 14.2 直接证明与间接证明教案 理 新人教A版VIP专享

14.2 直接证明与间接证明典例精析题型一 运用综合法证明 【例 1】设 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.【证明】因为 a＋b＝1，所以＋＋＝＋＋＝1＋＋1 ＋＋≥2＋baab＋＝2＋2＋4＝8，当且仅当 a＝b＝时等号成立.【点拨】在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从已知逐渐引出结论.【变式训练 1】设 a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.【证明】因为 a，b，c＞0，根据基本不等式，有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c).即＋＋≥a＋b＋c.题型二 运用分析法证明【例 2】设 a、b、c 为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca.求证：I2＜4S.【证明】由 I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝a2＋b2＋c2＋2S，故要证 I2＜4S，只需证 a2＋b2＋c2＋2S＜4S，即 a2＋b2＋c2＜2S.欲证上式，只需证 a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ca＜0，即证(a2－ab－ac)＋(b2－bc－ba)＋(c2－ca－cb)＜0，只需证三括号中的式子均为负值即可，即证 a2＜ab＋ac，b2＜bc＋ba，c2＜ca＋cb，即 a＜b＋c，b＜a＋c，c＜a＋b，显然成立，因为三角形任意一边小于其他两边之和.故 I2＜4S.【点拨】(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件.【变式训练 2】已知 a＞0，求证：－≥a＋－2.【证明】要证－≥a＋－2，只要证＋2≥a＋＋.因为 a＞0，故只要证(＋2)2≥(a＋＋)2，即 a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2(a＋)＋2，从而只要证 2≥(a＋)，只要证 4(a2＋)≥2(a2＋2＋)，即 a2＋≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立.题型三 运用反证法证明【例 3】 若 x，y 都是正实数，且 x＋y＞2.求证：＜2 或＜2 中至少有一个成立.【证明】假设＜2 和＜2 都不成立.则≥2，≥2 同时成立.因为 x＞0 且 y＞0，所以 1＋x≥2y 且 1＋y≥2x，两式相加得 2＋x＋y≥2x＋2y，所以 x＋y≤2，这与已知条件 x＋y＞2 相矛盾.因此＜2 与＜2 中至少有一个成立.1【点拨】一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；②否定命题，唯一性命题，存在性命题，“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及到无限个元素，用直接证明形式比较困难因而往往采用反证法.【...