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2014高考数学一轮总复习 14.2 直接证明与间接证明教案 理 新人教A版

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14.2 直接证明与间接证明典例精析题型一 运用综合法证明 【例 1】设 a>0,b>0,a+b=1,求证:++≥8.【证明】因为 a+b=1,所以++=++=1++1 ++≥2+baab+=2+2+4=8,当且仅当 a=b=时等号成立.【点拨】在用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点,也就是能想到从哪里起步,我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质,逐层推进,从已知逐渐引出结论.【变式训练 1】设 a,b,c>0,求证:++≥a+b+c.【证明】因为 a,b,c>0,根据基本不等式,有+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c.三式相加:+++a+b+c≥2(a+b+c).即++≥a+b+c.题型二 运用分析法证明【例 2】设 a、b、c 为任意三角形三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca.求证:I2<4S.【证明】由 I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S,故要证 I2<4S,只需证 a2+b2+c2+2S<4S,即 a2+b2+c2<2S.欲证上式,只需证 a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca<0,即证(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)<0,只需证三括号中的式子均为负值即可,即证 a2<ab+ac,b2<bc+ba,c2<ca+cb,即 a<b+c,b<a+c,c<a+b,显然成立,因为三角形任意一边小于其他两边之和.故 I2<4S.【点拨】(1)应用分析法易于找到思路的起始点,可探求解题途径.(2)应用分析法证明问题时要注意:严格按分析法的语言表达;下一步是上一步的充分条件.【变式训练 2】已知 a>0,求证:-≥a+-2.【证明】要证-≥a+-2,只要证+2≥a++.因为 a>0,故只要证(+2)2≥(a++)2,即 a2++4+4≥a2+2++2(a+)+2,从而只要证 2≥(a+),只要证 4(a2+)≥2(a2+2+),即 a2+≥2,而该不等式显然成立,故原不等式成立.题型三 运用反证法证明【例 3】 若 x,y 都是正实数,且 x+y>2.求证:<2 或<2 中至少有一个成立.【证明】假设<2 和<2 都不成立.则≥2,≥2 同时成立.因为 x>0 且 y>0,所以 1+x≥2y 且 1+y≥2x,两式相加得 2+x+y≥2x+2y,所以 x+y≤2,这与已知条件 x+y>2 相矛盾.因此<2 与<2 中至少有一个成立.1【点拨】一般以下题型用反证法:①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确;②否定命题,唯一性命题,存在性命题,“至多”“至少”型命题;③有的肯定形式命题,由于已知或结论涉及到无限个元素,用直接证明形式比较困难因而往往采用反证法.【...

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