14.3 数学归纳法典例精析题型一 用数学归纳法证明恒等式 【例 1】是否存在常数 a、b、c，使等式 12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切 n∈N*都成立？若存在，求出 a、b、c 并证明；若不存在，试说明理由.【解析】 假设存在 a、b、c 使 12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切 n∈N*都成立.当 n＝1 时，a(b＋c)＝1；当 n＝2 时，2a(4b＋c)＝6；当 n＝3 时，3a(9b＋c)＝19.解方程组,19)9(3,3)4(,1)(cbacbbcba解得.1,2,31cba证明如下：当 n＝1 时，显然成立；假设 n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即 12＋22＋32＋…＋k2＋ (k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)；则当 n＝k＋1 时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2＝(k＋1)(2k2＋4k＋3)＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1].因此存在 a＝，b＝2，c＝1，使等式对一切 n∈N*都成立.【点拨】 用数学归纳法证明与正整数 n 有关的恒等式时要弄清等式两边的项的构成规律：由n＝k 到 n＝k＋1 时等式左右各如何增减，发生了怎样的变化.【变式训练 1】用数学归纳法证明：当 n∈N*时，＋＋…＋＝.【证明】(1)当 n＝1 时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立.(2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当 n＝k＋1 时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝，所以当 n＝k＋1 时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立.题型二 用数学归纳法证明整除性问题【例 2】 已知 f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然数 m 使得任意的 n∈N*，都有 m 整除f(n)？若存在，求出最大的 m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【解析】 由 f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，猜想：f(n)能被 36 整除，下面用数学归纳法证明.(1)当 n＝1 时，结论显然成立；(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即 f(k)＝(2k＋7)·3k＋9 能被 36 整除.1则当 n＝k＋1 时，f(k＋1)＝(2k＋9)·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由假设知 3[(2k＋7)·3k＋9]能被 36 整除，又 3k－1－1 是偶数，故 18(3k－1－1)也能被 36 整除.即 n＝k＋1 时结论也成立.故由(1)(2)可知，对任意正整数 n 都有 f(n)能被 36 整除.由 f(1)＝36 知 36 是整除 f(n)的...
