18.3 不等式的证明(二)典例精析题型一 用放缩法、反证法证明不等式 【例 1】已知 a，b∈R，且 a＋b＝1，求证：(a＋2)2＋(b＋2)2≥.【证明】 方法一：(放缩法)因为 a＋b＝1，所以左边＝(a＋2)2＋(b＋2)2≥2[]2＝[(a＋b)＋4]2＝＝右边.方法二：(反证法)假设(a＋2)2＋(b＋2)2＜，则 a2＋b2＋4(a＋b)＋8＜.由 a＋b＝1，得 b＝1－a，于是有 a2＋(1－a)2＋12＜.所以(a－)2＜0，这与(a－)2≥0 矛盾.故假设不成立，所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥.【点拨】 根据不等式左边是平方和及 a＋b＝1 这个特点，选用重要不等式 a2 ＋ b2≥2()2 来证明比较好，它可以将具备 a2＋b2 形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件 a＋b＝1，得到关于 a 的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练 1】设 a0，a1，a2，…，an－1，an 满足 a0＝an＝0，且有a0－2a1＋a2≥0，a1－2a2＋a3≥0，…an－2－2an－1＋an≥0，求证：a1，a2，…，an－1≤0.【证明】由题设 a0－2a1＋a2≥0 得 a2－a1≥a1－a0.同理，an－an－1≥an－1－an－2≥…≥a2－a1≥a1－a0.假设 a1，a2，…，an－1 中存在大于 0 的数，假设 ar 是 a1，a2，…，an－1 中第一个出现的正数. 即 a1≤0，a2≤0，…，ar－1≤0，ar＞0，则有 ar－ar－1＞0，于是有an－an－1≥an－1－an－2≥…≥ar－ar－1＞0.并由此得 an≥an－1≥an－2≥…≥ar＞0.这与题设 an＝0 矛盾.由此证得 a1，a2，…，an－1≤0 成立.题型二 用数学归纳法证明不等式【例 2】用放缩法、数学归纳法证明：设 an＝＋＋…＋，n∈N*，求证：＜an＜.【证明】 方法一：(放缩法)＜＜，即 n＜＜.所以 1＋2＋…＋n＜an＜[1＋3＋…＋(2n＋1)].所以＜an＜·，即＜an＜.方法二：(数学归纳法)① 当 n＝1 时，a1＝，而 1＜＜2，所以原不等式成立.② 假设n＝k (k≥1)时，不等式成立，即＜ak＜.则当 n＝k＋1 时，ak＋1＝＋＋…＋＋，所以＋＜ak＋1＜＋.而＋＞＋＝＋(k＋1)＝，1＋＜＋＝＝.所以＜ak＋1＜.故当 n＝k＋1 时，不等式也成立.综合①②知当 n∈N*，都有＜an＜.【点拨】 在用放缩法时，常利用基本不等式＜将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.【变式训练 2】已知数列，，…，，…，Sn 为其前 n 项和...
