10.6 空间向量及其运算典例精析题型一 共线和共面向量【例 1】 设 A、B、C 及 A1、B1、C1 分别是异面直线 l1、l2 上的三点，而 M、N、P、Q 分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1 的中点，求证：M、N、P、Q 四点共面.【证明】因为 NM ＝ BA ， NP ＝11BA，所以 BA ＝2 NM ，11BA＝2 NP ，又 PQ ＝( BC ＋11CB)， BC ＝λ BA ＝2λ NM ，11CB＝ω11BA＝2ω NP ，所以 PQ ＝(2λ NM ＋2ω NP )＝λ NM ＋ω NP ，所以 PQ 、 NM 、 NP 共面，即 M、N、P、Q 四点共面.【点拨】可以利用共面向量定理或其推论完成证明.用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行，更简捷，使问题简单化.【变式训练 1】如图所示，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 DD1 的中点，N∈AC，且 AN∶NC＝2，求证：A、B、N、M 四点共面.【证明】设1AA ＝a， AB ＝b， AD ＝c，则BA1＝b－a.因为 M 是 DD1 的中点，所以MA1＝c－a.因为 AN∶NC＝2，所以 AN ＝ AC ＝(b＋c)，所以NA1＝ AN －1AA ＝(b＋c)－a＝(b－a)＋(c－a)＝BA1＋MA1，所以 A、B、M、N 四点共面.题型二 利用向量计算长度和证明垂直【例 2】已知平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 所有棱长均为 1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°.(1)求 AC1 的长；(2)求证：AC1⊥平面 A1BD.【解析】(1)设 AB ＝a， AD ＝b，1AA ＝c，则 a·b＝b·c＝c·a＝1×1×cos 60°＝，a2＝b2＝c2＝1.而1AC ＝a＋b＋c，所以|1AC |2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋2×＋2×＋2×＝6，即|1AC |＝.(2)证明：因为BA1＝a－c，所以1AC ·BA1＝(a＋b＋c)·(a－c)＝a2－c2＋a·b－b·c＝1－1＋－＝0.1所以1AC ⊥BA1.同理可得1AC ⊥ DB .所以 AC1⊥平面 A1BD.【点拨】利用|a|2＝a2 是计算长度的有效方法之一；而利用向量数量积为零是证明垂直问题的常用方法之一.【变式训练 2】已知平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 AA1 长为 b，且 AA1 与 AB，AD 的夹角都是 120°.求 AC1 的长.【解析】|1AC |2＝1AC 2＝( AB ＋ AD ＋1AA )2＝2＋ AD 2＋1AA 2＋2 AB · AD ＋2 AD ·1AA ＋2 AB ·1AA＝a2＋a2＋b2＋0＋2abcos 120°＋2abcos 120°＝2a2＋b2－2ab.所以|AC1|＝.题型三 利用坐标求法向量和证明垂直问题【例 3】 正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，棱长为...
