第2讲参数方程板块三模拟演练·提能增分[基础能力达标]1．[2017·江苏高考]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．解直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，从而点P到直线l的距离d＝＝.当s＝时，dmin＝.因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.2．[2017·全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.3．[2018·安阳模拟]已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标系方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝.(1)求圆C和直线l的极坐标方程；(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解(1)∵圆C的直角坐标系方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，∴圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－2ρsinθ＝0，化简得ρ＋2cosθ－2sinθ＝0，即ρ＝2sin.∵直线l的参数方程为(t为参数)，消参得：x－y＋1＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＋1＝0，即ρ＝.(2)当θ＝时，|OP|＝2sin＝2，故点P的极坐标为，|OQ|＝＝＝，故点Q的极坐标为，|PQ|＝|OP|－|OQ|＝2－＝故线段PQ的长为.4．[2018·长沙模拟]以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为(t为参数，0<φ<π)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．解(1)由(t为参数，0<φ<π)，消去t，得xcosφ－ysinφ＋sinφ＝0，所以直线l的普通方程为xcosφ－ysinφ＋sinφ＝0.由ρcos2θ＝4sinθ，得(ρcosθ)2＝4ρsinθ，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，得x2＝4y，所以曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.(2)将直线l的参数方程代入x2＝4y，得t2sin2φ－4tcosφ－4＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－，所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝.当φ＝时，|AB|取得最小值，最小值为4.5．[2018·榆林模拟]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数，a>0)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcos＝－2.(1)设P是曲线C上的一个动点，当a＝2时，求点P到直线l的距离的最小值；(2)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．解(1)由ρcos＝－2，得(ρcosθ－ρsinθ)＝－2，化成直角坐标方程，得(x－y)＝－2，即直线l的方程为x－y＋4＝0.依题意，设P(2cost,2sint)，则点P到直线l的距离d＝＝.当t＋＝2kπ＋π，即t＝2kπ＋，k∈Z时，dmin＝2－2.故点P到直线l的距离的最小值为2－2.(2)∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方，∴对∀t∈R，有acost－2sint＋4>0恒成立，即cos(t＋φ)>－4恒成立，∴<4，又a>0，∴0
0可知tanα＝.所以直线l的斜率为.
