曲线和方程（1）一．课题： 二．教学目标：1.初步掌握曲线的方程、方程的曲线的概念及其相互关系，并能根据定义作简单的判断与推理；2.初步掌握求曲线方程的方法；3.进一步培养学生的逻辑推理能力与抽象思维能力.三．教学重、难点：曲线和方程的意义.四．教学过程：（一）复习引入： 问：什么叫点的轨迹？轨迹与条件之间有何关系？（二）新课讲解：1．曲线的方程和方程的曲线的概念：特例：①求两坐标轴所成的角位于第一、第三象限的平分线上的坐标满足的关系。第一、三象限角平分线点的横坐标与纵坐标相等．第一、三象限角平分线上的任一点都满足方程；以方程的解为坐标的点都在一、三象限的角平分线上。② 分析抛物线与方程的对应关系.曲线的方程和方程的曲线的概念：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做方程的曲线（图形）.说明：定义中的两点可统一为：如果曲线的方程是，那么在曲线上的充要条件是．例 1．证明圆心为坐标原点，半径等于 的圆的方程是，并判断点，是否在这个圆上.证明：（1）设是圆上任意一点，因为点在原点的距离等于 ，所以，也就是．即是方程的解．（ 2 ） 设是 方 程的 解 ， 那 么， 两 边 开 方 取 算 术 根 ， 得，即点到原点的距离等于 ，点是这个圆上的点，所以，由（1），（2）可知，是圆心为坐标原点，半径等于 的圆的方程. 把点的坐标代入方程，左右两边相等， 是方程的解，所以点在这个圆上；把点的坐标代入方程，左右两边不等，不是方程的解，所以点不在这个圆上．说明：（1）验证： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上；（2）验证点是否在曲线上转化为点的坐标是否满足方程.例 2．方程的曲线是否是：到 轴的距离是到轴距离的 倍的动点轨迹？为什么？解：不是.到 轴的距离是到轴距离的 倍的动点轨迹的方程是：．满足方程的点在曲线上，但曲线上的点未必满足方程，比如点．例 3．画出方程的曲线：．解：由，得：，即原方程的曲线等价于或，（图略）．说明：（1）围绕曲线的方程和方程的曲线说明；（2）方程的变形要做到同解变形。五．课堂练习：课本练习 1，2，3．六．小结：1．掌握曲线的方程与方程的曲线...
