第 3 讲 分类讨论思想、转化与化归思想一、分类讨论思想分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题中发挥着重要作用,大大提高了学生的解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,并快速找准突破点.充分利用分类讨论思想将复杂问题分解成若干题目涉及的知识角度进行求解.解题时要注意,按主元分类的结果应求并集,按参数分类的结果要分类给出.思想方法诠释1.分类讨论的思想含义分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略.2.分类讨论的原则(1)不重不漏;(2)标准要统一,层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论.3.分类讨论的常见类型(1)由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论;(5)由参数的变化而引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的讨论.思想分类应用应用一 由数学的概念、定理、公式引起的分类讨论 【例 1】(1)(2020 安徽合肥二模,文 10)记 F1,F2为椭圆 C: x2m+y2=1 的两个焦点,若 C 上存在点 M 满足⃗M F1·⃗M F2=0,则实数 m 的取值范围是( )A.(0, 12]∪[2,+∞) B.[12 ,1)∪[2,+∞)C.(0, 12]∪(1,2]D.[12 ,1)∪(1,2](2)设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=1,2,3,…),则 q 的取值范围是 . 思维升华 1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除以一个数时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数,这个数是零、是正数还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.【对点训练 1】(1)“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2020 广东茂名一模,理 12)已知函数 f(x)={a x2- ax+1, x≤1,x -a ln x ,x>1(a∈R),若函...
