6.4.3 统计与概率问题综合应用必备知识精要梳理离散型随机变量的期望与方差(1)E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为 X 的均值或数学期望.(2)D(X)=(x1-E(X))2·p1+(x2-E(X))2·p2+…+(xi-E(X))2·pi+…+(xn-E(X))2·pn叫做随机变量 X 的方差.(3)均值与方差的性质:E(aX+b)=aE(X)+b;E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);D(aX+b)=a2D(X).关键能力学案突破热点一离散型随机变量的期望与方差【例 1】(2020 山西临汾高三适应性训练,19)今年情况特殊,小王在居家自我隔离时对周边的水产养殖产业进行了研究.A、B 两个投资项目的利润率分别为投资变量 X 和 Y.根据市场分析,X和 Y 的分布列分别为:X5%10%P0.80.2Y2%8%12%P0.20.50.3(1)若在 A,B 两个项目上各投资 100 万元,ξ 和 η 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润,求方差 D(ξ),D(η);(2)若在 A,B 两个项目上共投资 200 万元,那么如何分配,能使投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和最小,最小值是多少?[注:D(aX+b)=a2D(X)]解题心得期望与方差的一般计算步骤(1)理解离散型随机变量的意义,写出变量 X 的所有可能取的值;(2)求 X 取各个值时的概率,写出分布列;(3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.若变量 X 服从二项分布等特殊分布时,期望与方差可直接利用公式求解.【对点训练 1】(2020 四川宜宾高三诊断,19)某烘焙店加工一个成本为 60 元的蛋糕,然后以每个 120 元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.(1)若烘焙店一天加工 16 个这种蛋糕,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:个,n∈N)的函数解析式;(2)烘焙店记录了 100 天这种蛋糕的日需求量(单位:个),整理得下表:日需求量n14151617181920频数10201616151310① 若烘焙店一天加工 16 个这种蛋糕,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列与数学期望及方差;② 若烘焙店一天加工 16 个或 17 个这种蛋糕,仅从获得利润大的角度考虑,你认为应加工16 个还是 17 个?请说明理由.热点二统计数据及概率在现实决策问题中的应用【例 2】(2020 山西太原 5 月模拟,20)为实现 2020 年全面建设小康社会,某地进行产业的升级改造.经市场调研和科学研判,准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件,目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的该核心部件中随机抽取 400 个,对其尺寸 x进行统计后整理的频率分布直方图.根据行业...
