7.4 压轴题大题 2 直线与圆锥曲线7.4.1 直线与圆及圆锥曲线必备知识精要梳理1.解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤:设线、设点,联立、消元,韦达定理、代入、化简.第一步:讨论直线斜率的存在性,斜率存在时,设直线的方程为 y=kx+b(或斜率不为零时,设 x=my+n);第二步:设直线与圆锥曲线的两个交点为 M(x1,y1),N(x2,y2);第三步:联立方程组{y=kx+b,f ( x , y)=0,消去 y 得关于 x 的方程 Ax2+Bx+C=0;第四步:由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交于两个点满足的条件{二次系数 A不为零,Δ>0,{x1+x2=- BA ,x1 x2=CA ;第五步:把所要解决的问题转化为含 x1+x2,x1x2的形式,然后代入、化简.2.弦中点问题的特殊解法——点差法:即若已知弦 AB 的中点为 M(x0,y0),先设两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2);分别代入圆锥曲线的方程,得 f(x1,y1)=0,f(x2,y2)=0,两式相减、分解因式,再将x1+x2=2x0,y1+y2=2y0代入其中,即可求出直线的斜率.3.弦长公式:|AB|=❑√1+k2|x1-x2|=❑√(1+k2)[( x1+ x2)2- 4 x1x2](k 为弦 AB 所在直线的斜率).关键能力学案突破热点一求轨迹方程【例 1】(2020 北京顺义二模,21 节选)设线段 AB 的两个端点 A,B 分别在 x 轴、y 轴上滑动,且|AB|=5,⃗OM=35⃗OA+ 25⃗OB(O 为坐标原点),求点 M 的轨迹方程.解题心得 1.如果动点运动的条件是一些几何量的等量关系,设出动点坐标,直接利用等量关系建立 x,y 之间的关系 F(x,y)=0,就得到轨迹方程.2.若动点的轨迹符合某已知曲线的定义,可直接设出相应的曲线方程,用待定系数法或题中所给几何条件确定相应系数,从而求出轨迹方程.3.如果动点 P 的运动是由另外某一点 Q 的运动引发的,而该点坐标满足某已知曲线方程,则可以设出 P(x,y),用(x,y)表示出相关点 Q 的坐标,然后把 Q 的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点 P 的轨迹方程.【对点训练 1】设抛物线 C1的方程为 x2=4y,点 M(x0,y0)(x0≠0)在抛物线 C2:x2=-y 上,过 M作抛物线 C1的切线,切点分别为 A,B,圆 N 是以线段 AB 为直径的圆.(1)若点 M 的坐标为(2,-4),求此时圆 N 的半径长;(2)当 M 在 x2=-y 上运动时,求圆心 N 的轨迹方程.热点二直线与圆的综合【例 2】(2020 陕西榆林高三模拟,理 20)已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A,B 两点,圆 M 是以线段 AB 为直径的圆.(1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上;(2)设圆 M 过点 P(4,-2),求直线 l 与圆 M...
