新课程人教版数学必修(Ⅲ)教案§1.3.3 阅读与思考:割圆术圆周率是一个极其驰名的数。从有文字记载的历史开始,这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。作为一个非常重要的常数,圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。仅凭这一点,求出它的尽量准确的近似值,就是一个极其迫切的问题了。事实也是如此,几千年来作为数学家们的奋斗目标,古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。回顾历史,人类对 π 的认识过程,反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。 π 的研究,在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。直到 19 世纪初,求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值,人类走过了漫长而曲折的道路,它的历史是饶有趣味的。我国的刘徽创立了割圆术,给出了“割圆”的一般法则,后世的割圆家可能在 π 的近似值上估计得比他精密,但若论及创始的功劳,则他的地位是无人可以替代的。 刘徽是魏人,经历可能延长到晋朝,这是史家根据《隋书》记载的魏陈留王景元四年(263 A.D.)刘徽注九章的文句推断出来的。晋朝算学博士王孝通(《缉古算经》的作者)称赞他“思极毫芒”,推许他的著作“一时独步”。他那极富原创性的《九章算术注》(附于现传本的《九章算术》内),及《重差术》(即现传的《海岛算经》)二部著作,的确是他不朽声名的最佳脚注。 刘徽的割圆术记载在九章算术第一卷方田章的第 32 题关于圆面积计算的注文里。我们把它归纳为下列几点来加以说明。 一、刘徽首先指出利用 π=3 这一数值算得的结果不是圆面积,而是圆内接正十二边形的面积,这个结果比 π 的真值少。二、他由圆内接正六边形算起,逐渐把边数加倍,算出正 12 边形、正 24 边形、正 48 边形、正 96边形……的面积,这些面积会逐渐地接近圆面积。 三、已知正 6 边形一边(恰与半径等长,详见《九章算术》),即求得正 12 边形边长,……。由正12 边形求正 24 边形一边之长时,刘徽反复地应用到句股定理(或称商高、勾股定理),如下图: 设圆的半径为 1,弦心距 OG 为;正 n 边形的边长 AB 为,面积为,根据各个勾股定理,得:容易知道正 2n 边形的面积等于正 n 边形的面积加上 n 个等腰三角形的面积,即:,利用这个递推公式,可以得到:;;......上面的递推公式可以用循环结构来表达,因此,上述步骤可以写成下面的程序:用正多边形逐渐增加边数的方法来计算圆周率,在公元前 200...