直线、平面垂直的判定及其性质(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·佛山模拟)关于直线l,m及平面α,β,下列命题中正确的是()A.若l∥α,α∩β=m,则l∥mB.若l∥α,m∥α,则l∥mC.若l⊥α,l∥β,则α⊥βD.若l∥α,m⊥l,则m⊥α【解析】选C.A中,l与m可能平行,异面,B中,l与m可能平行、相交、异面,故A,B错;D中,m与α也可能平行,斜交,故D错;C中,由l∥β知,平面β中存在直线n∥l,则由l⊥α,可得n⊥α,由面面垂直的判定定理知α⊥β,故C正确.2.(2016·石家庄模拟)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,以下命题正确的是()A.若l⊥α,α⊥β,则l⊂βB.若l∥α,α∥β,则l⊂βC.若l⊥α,α∥β,则l⊥βD.若l∥α,α⊥β,则l⊥β【解析】选C.A,B,D中,也可能有l∥β,故A,B,D错误;C中,根据一条直线垂直于两个平行平面的一个,也垂直于另一个,知C正确.3.(2016·三明模拟)在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是()【解析】选A.A选项中,因为CD⊥平面AMB,所以CD⊥AB,B选项中,AB与CD成60°角;C选项中,AB与CD成45°角;D选项中,AB与CD夹角的正切值为.4.(2016·郑州模拟)已知ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,下列判断中正确的是()A.AB⊥PCB.AC⊥平面PBDC.BC⊥平面PABD.平面PBC⊥平面PDC【解析】选C.由题意画出几何体的图形,如图,显然AB⊥PC不正确;AC不垂直PO,所以AC⊥平面PBD不正确;BC⊥AB,PA⊥平面ABCD,PA⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB正确.5.(2016·南昌模拟)如图,在正四面体P-ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC【解析】选D.因BC∥DF,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,A成立;易证BC⊥平面PAE,BC∥DF,所以结论B,C均成立;点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立.6.(2016·秦皇岛模拟)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【解析】选D.因为m,n为异面直线,所以过空间内一点P,作m′∥m,n′∥n,则l⊥m′,l⊥n′,即l垂直于m′与n′确定的平面γ,又m⊥平面α,n⊥平面β,所以m′⊥平面α,n′⊥平面β,所以平面γ既垂直于平面α,又垂直于平面β,所以α与β相交,且交线垂直于平面γ,故交线平行于l.7.(2016·广州模拟)如图,边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,下列命题中错误的是()A.动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B.恒有平面A′GF⊥平面BCEDC.三棱锥A′-FED的体积有最大值D.异面直线A′E与BD不可能互相垂直【解析】选D.由题意知,DE⊥平面A′FG,又因为DE⊂平面ABC,所以平面A′FG⊥平面ABC,且它们的交线是AF,过A′作A′H⊥AF,则A′H⊥平面ABC,所以点A′在平面ABC上的射影一定在线段AF上,且平面A′GF⊥平面BCED,故A,B均正确;三棱锥A′-EFD的体积可以表示为V=S△EFD·A′H,当平面A′DE⊥平面ABC时,A′H最大,故三棱锥A′-EFD的体积有最大值,故C正确;连接CD,EH,当CD∥EH时,BD⊥EH,又知EH是A′E在平面ABC内的射影,所以BD⊥A′E,因此,异面直线A′E与BD可能垂直,故D错误.二、填空题(每小题5分,共15分)8.如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,点E是AC的中点,则下列命题中正确的是(填序号).①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABC⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.【解析】由AB=CB,AD=CD,点E为AC中点,知AC⊥DE,AC⊥BE,又因为DE∩BE=E,从而AC⊥平面BDE,故③正确.答案:③9.(2015·厦门模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法错误的是.(填序号)①在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMB;②异面直线AD与PB所成的角为90°;③二面角P-BC-A的大小为45°;④BD⊥平面PAC.【解析】对于①,取AD的中点M,连接PM,BM,则因为侧面PAD为正三角形,所以PM⊥AD,又因为底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,所以三角形ABD是等边三角形,所以AD⊥BM,因为PM∩BM=M,所以AD⊥平面PBM,故①正确.对于②,因为AD⊥平面PBM,所以AD⊥...
