等比数列及其前n项和(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·郑州模拟)已知等比数列的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=()A.4·B.4·C.4·D.4·【解析】选C.由于等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,因此前三项依次为4,6,9,公比q=,因此an=4·.2.在等比数列{an}中,a3=6,前3项之和S3=18,则公比q的值为()A.1B.-C.1或-D.-1或【解析】选C.根据已知条件得所以=3.整理得2q2-q-1=0,解得q=1或q=-.【误区警示】解答本题会出现以下错误:利用等比数列的前n项和公式表示S3后,计算结果中把q=1的结果舍去了,导致错误的原因是忽视了q=1与q≠1时,前n项和的计算公式不同.3.(2016·湛江模拟)已知等比数列中,a3=2,a4a6=16,则的值为()A.2B.4C.8D.16【解析】选B.因为a3=2,a4a6=16,所以a4a6=q4=16,即q4=4,则==q4=4.4.(2016·广安模拟)设等比数列{an}的前n项积Pn=a1·a2·a3·…·an,若P12=32P7,则a10等于()A.16B.8C.4D.2【解析】选D.由P12=32P7,得a8·a9·a10·a11·a12=32,即=32,于是a10=2.5.已知等比数列{an}的首项为8,Sn是其前n项的和,某同学经计算得S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后来该同学发现其中一个数算错了,则该数为()A.S1B.S2C.S3D.S4【解析】选C.根据题意可得显然S1是正确的,假设后三个数均未算错,则a1=8,a2=12,a3=16,a4=29,可知=a1a3,所以S2,S3中必有一个数算错了,若S2算错了,则a4=29=a1q3,q=,显然S3=36≠8(1+q+q2),矛盾,所以只可能是S3算错了,此时由a2=12得q=,a3=18,a4=27,S4=S2+18+27=65,满足题设.6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2017=3S2016+2016,a2016=3S2015+2016,则公比q=()A.4B.1或4C.2D.1或2【解析】选A.由a2017=3S2016+2016,a2016=3S2015+2016,两式相减得a2017-a2016=3a2016,即q=4.7.(2016·临汾模拟)记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*),已知am-1·am+1-2am=0,且T2m-1=128,则m的值为()A.4B.7C.10D.12【解析】选A.因为{an}为等比数列,所以am-1·am+1=,又am-1·am+1-2am=0,故am=2,由等比数列的性质可知前2m-1项积为T2m-1=,从而22m-1=128,故m=4.【加固训练】(2016·株洲模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,bn=,且{bn}的前n项和为Tn,若对一切正整数n都有Sn>Tn,则数列{an}的公比q的取值范围是()A.01C.q>D.1Tn,且Tn>0,所以q2=>1.因为an>0对任意n∈N*都成立,所以q>0,因此公比q的取值范围是q>1.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2016·周口模拟)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=.【解析】因为Sn为等比数列{an}的前n项和,3S3=a4-2,3S2=a3-2,两式相减得3a3=a4-a3,a4=4a3,所以公比q=4.答案:49.在公比为正数的等比数列中,a1+a2=2,a3+a4=8,则S8=.【解析】方法一:S8=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=2+8+32+128=170.方法二:q2==4,又q>0,所以q=2.所以a1(1+q)=a1(1+2)=2,所以a1=.所以S8==170.答案:17010.(2016·沧州模拟)已知数列满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则log3(a5+a7+a9)的值是.【解题提示】根据数列满足log3an+1=log3an+1(n∈N*)可以确定数列是公比为3的等比数列,再根据等比数列的通项公式即可通过a2+a4+a6=9求出a5+a7+a9的值,进而求得log3(a5+a7+a9)的值.【解析】log3an+1=log3an+log33=log33an,所以3an=an+1且an>0,an+1>0,所以数列{an}为公比q=3的等比数列,因为a2+a4+a6=9,设首项为a,所以aq+aq3+aq5=9,所以a5+a7+a9=q3(aq+aq3+aq5)=33×9=35,从而log3(a5+a7+a9)=log335=5.答案:5(20分钟40分)1.(5分)在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项总和为,则此数列的项数为()A.4B.5C.6D.7【解析】选D.因为14≠,所以q≠1,所以Sn=,所以=.解得q=-,=14×,所以n=5.故该数列共7项.【加固训练】(2016·成都模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=()A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,则q===,所以===2n-1.2.(5分)(2016·郑州模拟)在等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3【解析】选C.因为等比数列{an}中a4=2,a5=5,所以q==,a1==...
