数列求和(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.数列{an},{bn}都是等差数列,a1=2,b1=8,且a20+b20=50.则{an+bn}的前20项的和为()A.600B.610C.620D.630【解析】选A.由题意知{an+bn}也为等差数列,所以{an+bn}的前20项和为:S20===600.2.(2016·洛阳模拟)已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列的前n项和为Sn,则S2016的值为()A.B.C.D.【解析】选D.因为f′(x)=2x+b,所以f′(1)=2+b=3,所以b=1,所以f(x)=x2+x,所以==-,所以S2016=1-+-+…+-=1-=.3.(2016·厦门模拟)已知数列{an}满足:当p+q=11(p,q∈N*,p0,因为a1=1,a2a4=16,所以q4=16,解得q=2.所以an=1×2n-1=2n-1,由2n-1≤12,解得n≤4.所以|a1-12|+|a2-12|+…+|a8-12|=12-a1+12-a2+12-a3+12-a4+a5-12+…+a8-12=-2(a1+a2+a3+a4)+(a1+a2+…+a8)=-2×+=-2(24-1)+28-1=225.5.已知数列{an},{bn}满足a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数i,j,k,l,当i+j=k+l时,都有ai+bj=ak+bl,则[(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)+…+(a2017+b2017)]的值为()A.2016B.2017C.2018D.2019【解析】选D.由a1+b2=a2+b1得b2=2+2-1=3;由b1+a3=a2+b2得a3=2+3-2=3;a3+b2=a2+b3,得b3=3+3-2=4;同理可得a4=4,b4=5,…,a2017=2017,b2017=2018,所以[(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)+…+(a2017+b2017)]=[(1+2018)×2017]=2019.6.已知数列{an}的通项公式为an=log2(n∈N*),设其前n项和为Sn,则使Sn<-5成立的正整数n()A.有最大值63B.有最小值63C.有最大值32D.有最小值32【解析】选B.方法一:依题意有an=log2=log2(n+1)-log2(n+2),所以Sn=log22-log23+log23-log24+…+log2(n+1)-log2(n+2)=log22-log2(n+2)=1-log2(n+2),令1-log2(n+2)<-5,解得n>62,故使Sn<-5成立的正整数n有最小值63.方法二:Sn=log2+log2+…+log2=log2=log2,所以由Sn<-5,得log2<-5,解得n>62,故使Sn<-5成立的正整数n有最小值63.7.(2016·广州模拟)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为()A.3690B.3660C.1845D.1830【解题提示】根据n的奇偶性计算出a2k+1+a2k-1与a2k+2+a2k的值后,再求解.【解析】选D.当n=2k-1(k∈N*)时,a2k-a2k-1=2(2k-1)-1,①当n=2k(k∈N*)时可得a2k+1+a2k=2×2k-1,②当n=2k+1(k∈N*)时可得a2k+2-a2k+1=2(2k+1)-1,③②-①得a2k+1+a2k-1=2,所以a1+a3+…+a59=(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a57+a59)=2×15=30.③+②得:a2k+2+a2k=8k,所以a2+a4+…+a60=(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a58+a60)=8(1+3+…+29)=8×225=1800.所以S60=30+1800=1830.二、填空题(每小题5分,共15分)8.等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则++…+=.【解析】当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,又因为a1=1适合上式,所以an=2n-1,所以=4n-1.所以数列{}是以=1为首项,以4为公比的等比数列.所以++…+==(4n-1).答案:(4n-1)9.(2016·宜昌模拟)若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S100=.【解析】S100=1-2+3-4+5-6+…+99-100=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(99-100)=-50.答案:-5010.(2016·长沙模拟)已知数列{an}满足an+1=+,且a1=,则该数列的前2016项的和等于.【解析】因为a1=,又an+1=+,所以a2=1,从而a3=,a4=1,即得an=故数列的前2016项的和S2016=1008×=1512.答案:1512(20分钟40分)1.(5分)(2016·咸宁模拟)已知数列{an}:,+,++,…,+++…+,…,那么数列{bn}=的前10项和S10=()A.B.C.D.【解析】选B.由已知条件可得数列{an}的通项公式为an==,所以bn===4.S10=4=4=.2.(5分)(2016·汕头模拟)已知数列{an}的通项公式是an=,其前n项和Sn=,则项数n等于()A.8B.7C.6D.5【解析】选D.因为an==1-,所以Sn=++…+=n-=n-=n-=n-1+.所以n-1+==4+,解得n=5.【加固训练】Sn=1+++…+(1+++…+)=.【解析】1+++…+==2=2-,Sn=1+++…+...
