空间向量与空间角[知识能否忆起]利用向量求空间角1．两条异面直线所成的角的求法设两条异面直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 θ，则 cos φ＝|cos θ|＝(其中φ 为异面直线 a，b 所成的角)．2．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝.3．求二面角的大小(1)如图 1，AB、CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈，〉．(2)如图 2、3，n1，n2分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ＝〈n1，n2〉(或 π－〈n1，n2〉)．[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则 l 与 α 所成的角为( )A．30° B．60°C．120° D．150°解析：选 A 由于 cos〈m，n〉＝－，∴〈m，n〉＝120°.所以直线 l 与 α 所成的角为 30°.2．(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( )A．45° B．135°C．45°或 135° D．90°解析：选 C cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°，其补角为 135°，∴两平面所成的二面角为 45°或 135°.3.在如图所示的正方体 A1B1C1D1－ABCD 中，E 是 C1D1 的中点，则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为( )A．－ B．－C. D.解 析 ： 选 D 如 图 建 立 直 角 坐 标 系 D － xyz ， 设 DA ＝1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E.则＝(－1,1,0)，＝，若异面直线 DE 与 AC 所成的角为 θ，cos θ＝|cos〈，〉|＝.4．已知点 E、F 分别在正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 BB1，CC1 上，且 B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的正切值为________．解析：如图，建立直角坐标系 D－xyz，设 DA＝1 由已知条件 A(1,0,0)，E，F，＝，＝，设平面 AEF 的法向量为 n＝(x，y，z)，面 AEF 与面 ABC 所成的二面角为 θ，由得令 y＝1，z＝－3，x＝－1，则 n＝(－1,1，－3)．设平面 ABC 的法向量为 m＝(0,0，－1)，则 cos θ＝cos〈n，m〉＝，tan θ＝.答案：5．(教材习题改编)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线 A1B 与 B1C ...
