第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用【考纲下载】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，把数量|a||b|cos θ 叫做 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a·b.即 a·b＝|a||b|cos θ，规定 0·a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cos θ＝cos θ＝a⊥b 的充要条件a·b＝0x1x2＋ y 1y2＝ 0 [ 1．若 a·b＝a·c，则 b＝c 吗？为什么？提示：不一定．a＝0 时不成立，另外 a≠0 时，由数量积概念可知 b 与 c 不能确定．2．等式(a·b)c＝a(b·c)成立吗？为什么？提示：(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．(a·b)c 是 c 方向上的向量，而 a(b·c)是 a 方向上的向量，当 a 与 c 不共线时它们必不相等．3．|a·b|与|a|·|b|的大小之间有什么关系？提示：|a·b|≤|a|·|b|.因为 a·b＝|a||b|cos θ，所以|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a|·|b|.1．已知|a|＝5，|b|＝4，a·b＝－10，则 a 与 b 的夹角为( )A. B. C. D.解析：选 B 设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a·b＝|a||b|cos θ＝5×4cos θ＝－10，即 cos θ＝－.又 θ∈[0，π]，∴θ＝.2．已知向量 a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若 a·b＝1，则 x＝( )A．－1 B．－ C. D．1解析：选 D a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，∴2－x＝1，即 x＝1.3．设向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝( )A. B. C. D.解析：选 B |a＋2b|＝＝＝ ＝.4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c＝t a＋(1－t)b.若 b·c＝0，则 t＝________.解析：因为向量 a，b 为单位向量，所以 b2＝1，又向量 a，b 的夹角为 60°，所以 a·b＝，由 b·c＝0，得 b·[t a＋(1－t)b]＝0，即 t a·b＋(1－t)b2＝0，所以 t＋(1－t)＝0，所以t＝2.答案：215．(201...
