方法技巧 2 圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的最值问题【考情快递】 最值问题是高考的热点，可能出选择题、填空题和解答题．方法 1：定义转化法解题步骤① 根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．适用情况此法为求解最值问题的常用方法，多数题可以用.【例 1】►已知点 F 是双曲线－＝1 的左焦点，定点 A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．解析 如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4，即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，将|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－4≥5，即|PA|＋|PF|≥9，等号当且仅当 A，P，F′三点共线，即 P 为图中的点 P0时成立，故|PF|＋|PA|的最小值为 9.故填 9.答案 9方法 2：切线法解题步骤① 求与直线平行的圆锥曲线的切线；② 求出两平行线的距离即为所求的最值．适用情况当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时用此法.【例 2】►求椭圆＋y2＝1 上的点到直线 y＝x＋2 的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．解 设椭圆的切线方程为 y＝x＋b，代入椭圆方程，得 3x2＋4bx＋2b2－2＝0.由 Δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得 b＝±.当 b＝时，直线 y＝x＋与 y＝x＋2 的距离 d1＝，将 b＝代入方程 3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得 x＝－，此时 y＝，即椭圆上的点到直线 y＝x＋2 的距离最小，最小值是；当 b＝－时，直线 y＝x－到直线 y＝x＋2 的距离 d2＝，将 b＝－代入方程 3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得 x＝，此时 y＝－，即椭圆上的点到直线 y＝x＋2 的距离最大，最大值是.方法 3：参数法解题步骤① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；② 求解关于这个参数的函数最值．1适用情况可以用参数表示某个曲线并求得最值的问题.【例 3】►在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x，y)是椭圆＋y2＝1 上的一个动点，则 S＝x＋y 的最大值为________．解析 因为椭圆＋y2＝1 的参数方程为(φ 为参数)．故可设动点 P 的坐标为(cos φ，sin φ)，其中 0≤φ＜2π.因此 S＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝2＝2sin，所以，当 φ＝时，S 取最大值 2.故填 2.答案 2方法 4：基本不等式法解题步骤① 将最值用变量表示．② 利用基本不等式求得表达式的最值．适用情况最值问题中的多数问题可用此法.【例 4】►设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线...
