第三节 二项式定理【考纲下载】1．能利用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝C a n ＋ C a n － 1 b ＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)二项式系数二项展开式中各项系数 C(r＝0,1，…，n)二项式通项Tr＋1＝C a n － r b r ，它表示第 r ＋ 1 项2．二项式系数的性质1．二项式(x＋y)n的展开式的第 k＋1 项与(y＋x)n的展开式的第 k＋1 项一样吗？提示：尽管(x＋y)n与(y＋x)n的值相等，但它们的展开式形式是不同的，因此应用二项式定理时，x，y 的位置不能随便交换．2．二项式系数与项的系数一样吗？提示：不一样．二项式系数是指 C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关．1．(x－y)n的二项展开式中，第 r 项的系数是( ) A．C B．C C． C D．(－1)r－1C解析：选 D 本题中由于 y 的系数为负，故其第 r 项的系数为(－1)r－1C.2．(2012·四川高考)(1＋x)7的展开式中 x2的系数是( )A．42 B．35 C．28 D．21解析：选 D 依题意可知，二项式(1＋x)7的展开式中 x2的系数等于 C×15＝21.3．C＋C＋C＋C＋C＋C 的值为( )A．62 B．63 C．64 D．65解析：选 B 因为 C＋C＋C＋C＋C＋C＝(C＋C＋C＋C＋C＋C＋C)－C＝26－1＝63.4.n展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则 n 等于________．解析： 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，∴n＝10.答案：105．(2014·南充模拟)(x＋1)9的展开式中 x3的系数是________(用数字作答)．解析：依题意知，(x＋1)9的展开式中 x3的系数为 C＝C＝＝84.答案：84 前沿热点(十六)与二项式定理有关的交汇问题1．二项式定理作为一个独特的内容，在高考中总有所体现，常常考查二项式定理的通项、项的系数、各项系数的和等．2．二项式定理作为一个工具，也常常与其他知识交汇命题，如与数列交汇、与不等式交汇、与函数交汇等．因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理，还要考查其他知识，其解题的关键点是它们的交汇点，注意它们的联系即可．[典例] (2013·陕西高考)设函数 f(x)＝则当 x>0 时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( ) A．－20 B．20 C．－15 D．15[解题指导] 先寻找 x>0 时 f(x)的取值，再寻找 f[f(x)]的表达式，再利用二项式定理求解．[解析] ...
