运用米勒定理简解最大角问题1.米勒问题和米勒定理 1471 年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100 个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下： 米勒问题：已知点是角 MON 的边上的两个定点，点是边上的动点，则当在何处时，角 ACB 最大？对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。 米勒定理：已知点是角 MON 的边上的两个定点，点是边上的一动点则当且仅当三角形 ABC 的外圆与边相切于点时，角 ACB 最大。 证明：如图 1，设是边上不同于点的任意一点，连结，因为角 AC／B 是圆外角，角 ACB 是圆周角，易证角 AC／B 小于角 ACB，故角 ACB 最大。 图１根据切割线定理得，，即，于是我们有：角 ACB 最大 等 价 于 三 角 形 ABC 的 外 圆 与 边相 切 于 点等 价 于等 价 于。 2.米勒定理在解题中的应用 最大视角问题在数学竞赛、历届高考和模拟考试中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。 2.1 用米勒定理确定最大视角的点的位置 例 1（1986 年全国高考数学试题理科第五大题）如图 2，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上给定两定点，试在轴的正半轴上求一点，使取得最大值。 图２ 分析：这是一道较早的“米勒问题”的高考题，该题背景简单解题思路入口宽解法多样，是一道难得的好题。若用米勒定理求解则可一步到位，轻而易举地拿下此题 简解：设，由米勒定理知，当且仅当时，最大，故点的坐标为例 2 如图 3，足球场长 100 米，宽 60 米，球门长 7.2 米,有一位左边锋欲射门,应在边的何处才使射门角度最大? 解 ： 依 题 意， 由 米 勒 定 理 知 当（米） 时，最大。故边锋应在边距约米处射门才能使射门角度最大。 图 3 图 4 图 5 例 3（2024 年全国数学竞赛试题）在直角坐标系中，给定两点，在轴的正半轴上求一点，...
