2024 年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．设函数，则函数的定义域为 。2．设要使函数在区间上连续，则 。3．设函数由参数方程所确定，其中 f 可导，且，则 3 。4 ． 由 方 程所 确 定 的 函 数在 点处 的 全 微 分 dz = 。5 ． 设， 其 中 f 、具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 则 。二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1． 已知，则( A )（A） 12； （B）3； （C） 1； （D）0。2． 设 函 数在的 一 个 邻 域 内 有 定 义 ， 则 在点 处 存 在 连 续 函 数使是在点处可导的（ C ）（A）充分而非必要条件； （B）必要而非充分条件；（C）充分必要条件； （D）既非充分，也非必要条件。3． 设，则 F(x)=（ D ）(A) ; (B) ;(C) ; (D) 。4． 函数，在点处（ B ）（A）可微； （B）偏导数存在，但不可微；（C）连续，但偏导数不存在； （D）不连续且偏导数不存在。5． 设为区间上的正值连续函数，与为任意常数，区域，则（ D ）（A）； （B）； （C）； （D）。三、设函数在点的某邻域内具有二阶导数，且。求：，，及。（本题 6 分）解：因为 ，所以 。由无穷小比较，可知 ，以及 。从而 ，其中，即 。由此可得 ，，。并有 。四、计算。（本题 6 分）解： 五、求函数在点处的 100 阶导数值。（本题 6 分）解：方法一：利用莱布尼兹公式，又由归纳法可得。故。所以。方法二：利用泰勒公式，故，。六 、 设为 定 义 在上 ， 以 T > 0 为 周 期 的 连 续 函 数 ， 且。 求。（本题 7 分）解：对于充分大的 x > 0，必存在正整数 n，使得。又 ，故有 ，及 。注意到： ，且当时，。由夹逼定理可知。七 、 在 椭 球 面上 求 一 点 ， 使 函 数在 该 点 沿 方 向的方向导数最大。（本题 8 分）解： 函数的方向导数的表达式为。其中：为方向的方向余弦。因此。于是，根据题意，即求函数在条件下的最大值。设，则由得以及，即得驻点为与。因最大值必存在，故只需比较，，的大小。由此可知为所求。八、设正整数，证明方程至少有两个实根。（本题 6 分）...
