高等数学竞赛试题 3 答案一、选择题1.设，且，则（ C ）(A) 存在且等于零;(B) 存在但不一定等于零；(C) 不一定存在；(D) 一定不存在.2.设是连续函数，的原函数，则（ A ）(A) 当为奇函数时,必为偶函数；(B) 当为偶函数时,必为奇函数；(C) 当为周期函数时,必为周期函数；(D) 当为单调增函数时,必为单调增函数.3.设，在内恒有，记，则有（ B ）(A) ;(B) ;(C) ;(D) 不确定.4.设有连续导数，且，，当时，是同阶无穷小，则（ B ）(A) 4；(B) 3；(C) 2；(D) 1.5.设，则在点（ D ）(A) 不连续；(B) 连续但偏导数不存在；(C) 可微；(D) 连续且偏导数存在但不可微.6.设，则以向量、为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）(A) ；(B) 3, 11；(C) ；(D) .7.设是包含原点在内的两条同向闭曲线，的内部，若已知（k 为常数），则有（ D ）(A) 等于 k； (B) 等于； (C) 大于 k； (D) 不一定等于 k，与 L2的形状有关.8.设在处收敛，则在处（ D ）二、设，试确定、的值，使都存在.解：当时，，故；当时，，。三、设的一个原函数，且，求.解：，，，由知，，四、设，S 为的边界曲面外侧，计算解：（下侧），（上侧），， 五、已知，，，…，，….求证：（1）数列收敛；（2）的极限值 a 是方程的唯一正根.解一：（1），； 又收敛，收敛，收敛，又因，故收敛。（ 2 ） 令，，， 且，， 即 a 是的 根 ， 令，，，，，故根唯一。解二：由已知，，…，…，由此可见，， （用归纳法证明偶数项单调减少，奇数项单调增加）。设，。， 由知、收敛，令，；由，，知，。对两边取极限得， ①对两边取极限得， ②由①—②得，解得由知收敛，且为方程的根（再证唯一性）。六、设在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证： , 其中 D 为圆环域：解一：令，，，。由已知当时，，，，故解二：令，，，令为（逆时针），为（顺时针） ，。七、有一圆锥形的塔，底半径为 R，高为，现沿塔身建一登上塔顶的楼梯，要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于平面的直线的夹角为，楼梯入口在点, 试求楼梯曲线的方程.解：设曲线上任一点为，，曲线参数方程为（*），在点的切向量为，垂线方向向量为。，，，化简得，由实际问题应，解得，由，得，故，将此式代入参数方程（*）即得楼梯曲线。www.zxsx.com
