§8.5 空间向量及其运算1．空间向量的有关概念及定理语言描述共线向量(平行向量)如果空间一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．共线向量定理空间两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在唯一的实数 x，使 a＝xb.共面向量定理如果两个向量 a、b 不共线，则向量 c 与向量 a，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数 x，y，使 c＝xa＋yb.空间向量分解定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使 p＝xa＋yb＋zc.2. 两条异面直线所成的角把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角．3． 数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b 为非零向量)；③|a|2＝a·a，|a|＝.(2)向量的坐标运算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝( a 1＋ b 1， a 2＋ b 2， a 3＋ b 3)向量差a－b＝( a 1－ b 1， a 2－ b 2， a 3－ b 3)数量积a·b＝a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3数乘向量λa＝( λa 1， λa 2， λa 3)共线a∥b(b≠0)⇔a1＝ λb 1， a 2＝ λb 2， a 3＝ λb 3a∥b(b 与三个坐标平面都不平行)⇔＝＝垂直a⊥b⇔a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 夹角公式cos〈a，b〉＝1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两非零向量 a，b 共面．( √ )(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )(3)对于非零向量 b，由 a·b＝b·c，则 a＝c.( × )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × )(5)若 A、B、C、D 是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.( √ )(6)|a|－|b|＝|a＋b|是 a、b 共线的充要条件．( × )2. 如图所示，在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是( )A．－a＋b＋c B.a＋b＋cC．－a－b＋c D.a－b＋c答案 A解析 BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.3． 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E 为上底面 A1C1 的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则 x，y 的值分别为( )A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝C．x＝，y＝ D．x＝，y＝1答案 C解析 如图，AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(AB＋AD)．4． 同时垂直于 a＝(2,2,1)和 b...
