§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1． 用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点 A 和一个向量 a，再任给一个实数 t，以 A 为起点作向量AP＝ta，则此向量方程叫做直线 l 以 t 为参数的参数方程．向量 a 称为该直线的方向向量．(2)对空间任一确定的点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在唯一的实数 t，满足等式OP＝(1－t)OA＋tOB，叫做空间直线的向量参数方程．2． 用向量证明空间中的平行关系(1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1∥l2(或 l1与 l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线 l 的方向向量为 v，与平面 α 共面的两个不共线向量 v1和 v2，则 l∥α 或 l⊂α⇔存在两个实数 x，y，使 v＝xv1＋yv2.(3)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l∥α 或 l⊂α⇔v⊥u.(4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1，u2，则 α∥β⇔u1 ∥u2.3． 用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l⊥α⇔v∥u.(3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1和 u2，则 α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( × )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( × )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( × )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( √ )(5)若 a∥b，则 a 所在直线与 b 所在直线平行．( × )(6)若空间向量 a 平行于平面 α，则 a 所在直线与平面 α 平行．( × )2． 若直线 l1，l2的方向向量分别为 a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则 ( )A．l1∥l2 B．l1⊥l2C．l1与 l2相交但不垂直 D．以上均不正确答案 B解析 a·b＝－12＋36－24＝0，故 a⊥b，即 l1⊥l2，选 B.3． 已知平面 α 内有一点 M(1，－1,2)，平面 α 的一个法向量为 n＝(6，－3,6)，则下列点 P中，在平面 α 内的是( )A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4)答案 A解析 逐一验证法，对于选项 A，MP＝(1,4,1)，∴MP·n＝6－12＋6＝0，∴MP⊥n，∴点 P 在平面 α 内，同理可验证其他三个点不在平面 α 内．4． 已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且 BP...
