第 12 章 曲线与方程、数学归纳法12．1 曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．1．曲线的方程与方程的曲线如果曲线 C 上点的坐标(x，y)都是方程 f(x，y)＝0 的________，且以方程 f(x，y)＝0 的解(x，y)为坐标的点都在________上，那么，方程 f(x，y)＝0 叫做曲线 C 的方程，曲线 C 叫做方程 f(x，y)＝0 的曲线．2．平面解析几何研究的两个主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程研究曲线的性质．3．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设所求轨迹上任一点 P(x，y)．(3)列式——列出动点 P 所满足的关系式．(4)化简——化方程 f(x，y)＝0 为最简形式．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程．4．两条曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的________，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组______，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的______条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．1．方程 x2＋xy＝x 表示的曲线是__________．2．过圆外一点 P 作圆 x2＋y2＝1 的两条切线 PM 和 PN(M，N 为切点)，若∠MPN＝，则动点 P的轨迹是______．3．已知定点 A(1,2)，B(－1,2)，动点 P 与 A，B 两点连线的斜率 k1，k2满足 k1＝k2＋4，则动点 P 的轨迹方程是__________．4．(2012 江苏苏锡常镇四市调研)已知点 M 与双曲线－＝1 的左、右焦点的距离之比为2∶3，则点 M 的轨迹方程为__________．5．若动直线 y＝kx＋1 与椭圆＋＝1 恒有公共点，则 m 的取值范围是________．求轨迹有哪些常用方法？提示：(1)直接法：如果动点运动的轨迹简单明确，易于表示成含 x，y 的等式，从而得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤．若方程的化简是恒等变形，则最后的证明可以省略．(2)待定系数法：若已知条件告诉了我们曲线的种类或方程的具体形式，可先设出曲线的方程，再确定其中的参数．(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或不易直接求出，但形成轨迹的动点 P(x，y)却随另一动点 Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，且动点 Q 的轨迹已给定或容易求得，则可先将 x...
