高考达标检测（二十五）数列求和的3——种方法分组转化、裂项相消及错位相减一、选择题1．在公差大于0的等差数列{an}中，2a7－a13＝1，且a1，a3－1，a6＋5成等比数列，则数列(－1)n－1an的前21项和为()A．21B．－21C．441D．－441解析：选A设等差数列{an}的公差为d，d>0，由题意可得2(a1＋6d)－(a1＋12d)＝1，a1(a1＋5d＋5)＝(a1＋2d－1)2，解得a1＝1，d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以(－1)n－1an＝(－1)n－1(2n－1)，故数列(－1)n－1an的前21项和为1－3＋5－7…＋＋37－39＋41＝－2×10＋41＝21.2．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3n，则其前20项和为()A．380－B．400－C．420－D．440－解析：选C令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2…＋＋a20＝2(1＋2…＋＋20)－3＝2×－3×＝420－.3．已知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}满足关系…＋＋＋＋＝，数列{bn}的前n项和为Sn，则S5的值为()A．－454B．－450C．－446D．－442解析：选B由题意可得an＝2n－1…，因为＋＋＋＋＝，所以当n≥2…时，＋＋＋＋＝，两式相减可得＝－，则bn＝－(2n－1)·2n(n≥2)，当n＝1时，b1＝2，不满足上式，则S5＝2－12－40－112－288＝－450.4．已知数列{an}………：，＋，＋＋，，＋＋＋＋，，若bn＝，那么数列{bn}的前n项和Sn＝()A.B.C.D.解析：选B由题意知an…＝＋＋＋＋＝，则bn＝＝＝4，所以Sn＝4＝4＝.5．(2018·福州质检)已知数列{an}中，a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，则＝()A.B.C．2D.解析：选D令m＝1，则an＋1＝a1＋an＋n.又a1＝1，所以an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，所以a2－a1＝2，a3－a2＝3…，，an－an－1＝n(n≥2)，把以上n－1个式子相加，得an－a1＝2＋3…＋＋n，所以an＝1＋2＋3…＋＋n＝，当n＝1时，上式也成立，所以an＝，所以＝＝2，所以＝2…＋＋＋＝2＝.6．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发“”大家学习数学的兴趣，他们推出了解数学题获取软件激活码的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16…，，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是()A．440B．330C．220D．110解析：选A设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.由题意可知，N>100，令>100，得n≥14，n∈N*，即N出现在第13组之后．易得第n组的所有项的和为＝2n－1，前n组的所有项的和为－n＝2n＋1－n－2.设满足条件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)组，且第N项为第k＋1组的第t(t∈N*)个数，若要使前N项和为2的整数幂，则第k＋1组的前t项的和2t－1应与－2－k互为相反数，即2t－1＝k＋2，∴2t＝k＋3，∴t＝log2(k＋3)，∴当t＝4，k＝13时，N＝＋4＝95<100，不满足题意；当t＝5，k＝29时，N＝＋5＝440；当t>5时，N>440，故选A.二、填空题7．(2018·陕西一检)已知数列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，则{an}的前100项和为________．解析：由a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，得a2n＋a2n＋1＝n＋1，∴a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)…＋＋(a98＋a99)＝2＋2＋3…＋＋50＝1276， a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25)＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6)＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13，∴a1＋a2…＋＋a100＝1276＋13＝1289.答案：12898．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2018＝________.解析：由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，a5＝1，a6＝－2，a7＝－1…，，故该数列为周期是4的数列，所以S2018＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝504×(－2)＋1－2＝－1009.答案：－10099．已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n≥2)，bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，则S33的值是________．解析： 2a＝a＋a(n≥2)，∴数列{a}为首项为1，公差为22－1＝3的等差数列，∴a＝1＋3(n－1)＝3n－2.∴an＝，∴bn＝＝＝(－)，∴数列{bn}的前n项和...
