上海市重点中学2009届高三数学教案：幂函数

上海市重点中学 2009 届高三数学教案：幂函数一、知识梳理1 、理解kxy 的概念及性质函数kxy Qk （1 ）在区间,0上都有意义；（2 ）图像都通过点 1,1；（3 ）当0k时，在区间,0上递增，当0k时，在区间,0上递减。2 、掌握幂函数图像在第一象限的分类特征，能数形结合地处理幂函数单调性、奇偶性问题。3 、掌握幂函数的八种大致图像。二、例题讲解例1 、画出下列幂函数的大致图像（1 ）32xy （2 ）3xy （3 ）21xy（4 ）31xy例2 、（1 ）已知幂函数Ztxttytt22375131是偶函数，且在区间,0上是增函数，求t 的值。（2 ）已知幂函数221mmxy在区间0,上是减函数，求m的取值范围。例3 、设函数f （x ）＝x3 ， （1 ）求它的反函数； （2 ）分别求出f－ 1 （x ）＝f （x ），f－ 1 （x ）＞f （x ），f－ 1 （x ）＜f （x ）的实数x 的范围．例4 、求函数y ＝52x＋2x 51 ＋4 （x≥ －32）值域． 解析：设t ＝x51， x≥ －32，∴t≥ －2 ，则y ＝t2 ＋2t ＋4 ＝（t ＋1 ）2 ＋3 ． 当t ＝－1 时，ymin ＝3 ． ∴函数y ＝52x＋2x 51 ＋4 （x≥ －32）的值域为［3 ，＋）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．例5 、已知函数22( )()kkf xxkZ ，且(2)(3).ff（1）求k 的值；（2）试判断是否存在正数 p ，使函数 ( )1( )(21)g xp f xpx 在区间[ 1, 2]上的值域为17[ 4,]8。若存在，求出这个 p 的值；若不存在，说明理由。解：（1 ） )3()2(ff，∴022kk，即022 kk， Zk ，∴10或k。 （2）2)(xxf， ppppxpxpxpxg414212121)(222 当2,1212pp，,41p时，1)2(,4)1(,2,8174142ggppp 当,2212pp时， 0p，∴这样的 p不存在。 当1,212pp，即41,0p时，4)2(,817)1(gg，这样的 p不存在。 综上得，2p 。（2 ）或解：2( )211(0),g xp xpxp 抛物线开口向下。( 1)4g或 (2)4.g 解得2.p  此时22317( )2312(),[ 1, 2]48g xxxxx ； 所以函数 ( )g x 的值域是17[ 4,].8 则2...