第七节 正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理一、三角形中的各种关系 设△ABC 的三边为 a，b，c，对应的三个角为 A，B，C.1．三内角的关系：____________.2．边与边关系：___________________________________.3．边与角关系： (1)正弦定理：______________＝2R.(R 为△ABC 外接圆半径)(2)余弦定理：__________________________________.它 们 的 变 式 有 ： cos A ＝ ____________ ， cos B ＝ ____________ ， cos C ＝____________，a∶b∶c ＝________，＝________.(3)常用三角形面积公式：S△＝_____________________.二、关于三角形内角的常用三角恒等式由 A＋B＋C＝π 知，A＝π－(B＋C)可得出sin A＝________，cos A＝________.而＝－，有 sin＝________，cos＝________.三、三角形度量问题求边、角、面积、周长及有关圆半径等.条件角角边边边角边边边边角边适用定理正弦定理正弦定理或余弦定理余弦定理余弦定理其中“边边角”(abA)类型利用正弦定理求角时应判定三角形的个数：A<90°A≥90°a≥babsin Aa＝bsin Aaba≤b1一解两解一解无解一解无解四、判断三角形的形状特征，必须深入地研究边、角间的关系1．几个常用基本结论：① a＝b 或 A＝B⇔等腰三角形；② a2＋b2＝c2或 A＝90°⇔直角三角形；③ a2＞b2＋c2或 A＞90°⇔钝角三角形；④若 a 为最大边且 a2＜b2＋c2或 A 为最大角且 A＜90°⇔锐角三角形；⑤若 sin A＝sin B⇔等腰三角形；⑥若 sin 2A＝sin 2B⇔等腰三角形或直角三角形．2.基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即通过考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．基础自测1．(2013·湖南卷)在锐角 ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b. 若 2asin B＝b，则角 A等于( )A. B.C. D.解析：由 2asin B＝b 得 2sin Asin B＝sin B ，所以 sin A＝，因为△ABC 是锐角三角形，所以 A＝，故选 A.答案：A2．(2013·汕头二模)在△ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，已知 c＝2，C＝，△ABC 的面积 S△ABC＝，则△ABC 的周长为( )A．6 B．5C．4 D．4＋2解析：在△ABC 中， △ABC 的面积 S △ABC＝＝ab·si...
