课时达标第37讲空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积[解密考纲]考查空间几何体的结构特征、三视图、体积与表面积，以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．下列说法正确的是(D)A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点解析由棱柱和棱锥的概念可知，A，B，C项均错误．由于棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的截面与底面之间的部分，故棱台各侧棱的延长线交于一点．2．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(D)解析由几何体的正视图和侧视图，结合四个选项中的俯视图知，若为D项，则正视图应为，故D项不可能．故选D．3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(B)A．2＋B．2＋2C．D．解析三棱锥的高为1，底面为等腰三角形，如图，因此表面积是×2×2＋2×××1＋××2＝2＋2.故选B．4．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是(C)A．B．C．－2D．3－6解析由三视图可知，该几何体为三棱锥，设内切球半径为r，则由棱锥的体积公式有Sh＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，其中S＝×2×2＝2，h＝2，S1，S2，S3，S4分别是三棱锥四个面的面积，S1＝S2＝S＝2，S3＝S4＝×2×＝，所以4＝(4＋2)r，解得r＝－2.5．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为(A)A．m3B．m3C．m3D．m3解析由三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，其体积为3个正方体的体积加三棱柱的体积，所以V＝3＋＝.故选A．6．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(B)A．90πB．63πC．42πD．36π解析依题意，题中的几何体是用一个平面将一个底面半径为3、高为10的圆柱截去一部分后所剩余的部分，可在该几何体的上方拼接一个与之完全相同的几何体，从而形成一个底面半径为3、高为10＋4＝14的圆柱，因此该几何体的体积等于×π×32×14＝63π.故选B．二、填空题7．边长为2的正方体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积和体积分别为12π，4π.解析∵正方体的顶点都在球O的球面上，∴正方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．设球的半径为R，则2R＝＝2，即R＝，∴球O的表面积为S＝4π×()2＝12π，体积为V＝πR3＝4π.8．等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为____.解析如图所示：因为OE＝＝1，所以O′E′＝，E′F＝，则直观图A′B′C′D′的面积为S′＝×(1＋3)×＝.9．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是.解析根据三视图可知原几何体如图所示，最长棱为AC，所以AE＝2，EB＝2，ED＝3，DC＝4，所以EC＝5，所以AC＝.三、解答题10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.解析(1)该四棱锥的俯视图是边长为6cm的正方形(内含对角线)，如图，其面积为36cm2.(2)由侧视图可求得PD＝＝＝6.由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝＝＝6(cm)．11．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？解析由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因为A1B1＝AB＝6，所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．12．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积(其中∠BAC＝30°)．解析如图所示，过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R.∵V球＝πR3，V圆锥AO1＝·AO1·πCO＝πR2·AO1，V圆锥BO1＝BO1·πCO＝πR2·BO1，∴V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)＝πR3－πR3＝πR3.
