课时达标第20讲三角恒等变换[解密考纲]三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，可单独考查，也可与三角函数的知识综合考查．一、选择题1．已知sin2α＝，则cos2＝(D)A．－B．－C．D．解析∵cos2＝＝，∴cos2＝.2．(2017·山东卷)函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为(C)A．B．C．πD．2π解析∵y＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为＝π.故选C．3．已知α∈，tan＝，那么sin2α＋cos2α的值为(A)A．－B．C．－D．解析由tan＝，知＝，∴tan2α＝－.∵2α∈，∴sin2α＝，cos2α＝－，∴sin2α＋cos2α＝－.故选A．4．已知α为锐角，且7sinα＝2cos2α，则sin＝(A)A．B．C．D．解析由7sinα＝2cos2α，得7sinα＝2(1－2sin2α)，即4sin2α＋7sinα－2＝0，解得sinα＝－2(舍去)或sinα＝，又由α为锐角，可得cosα＝，∴sin＝sinα＋cosα＝.故选A．5．若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为(D)A．B．－C．D．－解析cos2α＝sin＝sin＝2sincos，代入原式，得6sincos＝sin.∵α∈，∴－α∈，∴sin<0，∴cos＝，∴sin2α＝cos＝2cos2－1＝－.故选D．6．已知sin＋sinα＝，则sin的值是(D)A．－B．C．D．－解析sin＋sinα＝⇒sincosα＋cossinα＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sinα＋cosα＝，故sin＝.所以sin＝sin＝－sin＝－.二、填空题7．函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为____.解析依题意，得f(x)＝sin(x＋θ).因此函数f(x)的最大值是.8.的值为__1__.解析原式＝＝＝＝＝＝1.9．若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝____.解析由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，可得＝，即tan(α＋β)＝.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.三、解答题10．(2018·江西高三阶段性检测)已知cos(2019π－θ)＝－，θ∈.(1)求sinθ的值；(2)求cos的值；(3)求tan的值．解析(1)因为cos(2019π－θ)＝－，所以－cosθ＝－，得cosθ＝.又θ∈，所以sinθ＝＝.(2)cos＝cos＝cosθcos＋sinθsin＝×＋×＝.(3)因为tanθ＝＝，所以tan＝＝＝－.11．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.(1)求sin2β的值；(2)求cos的值．解析(1)sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.(2)∵0<α<<β<π，∴<β－<，<α＋β<，∴sin>0，cos(α＋β)<0.∵cos＝，sin(α＋β)＝，∴sin＝，cos(α＋β)＝－.∴cos＝cos＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.12．已知函数f(x)＝sinωx＋mcosωx(ω>0，m>0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m的值；(2)若f＝，θ∈，求f的值．解析(1)易知f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ为辅助角)，∴f(x)min＝－＝－2，∴m＝.由题意知函数f(x)的最小正周期为π，∴＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴f＝2sin＝，∴sin＝.∵θ∈，∴θ＋∈，∴cos＝－＝－，∴sinθ＝sin＝sin·cos－cos·sin＝，∴f＝2sin＝2sin＝2cos2θ＝2(1－2sin2θ)＝2＝－.
