课时达标第21讲正弦定理和余弦定理[解密考纲]本考点考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形、判断三角形的形状、求三角形的面积等，三种形式均有呈现．一般排在选择题、填空题的中间位置或解答题靠前的位置，题目难度较易或中等．一、选择题1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝1，b＝，A＝，则B＝(B)A．B．或C．或D．解析根据正弦定理＝，得＝，∴sinB＝，∴B＝或.2．在△ABC中，若AB＝2，AC2＋BC2＝8，则△ABC面积的最大值为(C)A．B．2C．D．3解析∵AC2＋BC2≥2AC·BC，∴AC·BC≤4.∵cosC＝，∴cosC≥，∴0°
2，∴三角形仅有一解，∴c＝3.设BC边上的高为h，则h＝csinB＝.5．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(B)A．5B．C．2D．1解析S＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，∴B＝或.当B＝时，根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；当B＝时，根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意，故AC＝.6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(C)A．3B．C．D．3解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②由①②，得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.二、填空题7．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．若sinB＝，cosB＝，则a＋c的值为__3__.解析∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.∵sinB＝，cosB＝，∴ac＝13，∴b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2＋c2＝37，∴(a＋c)2＝63，∴a＋c＝3.8．(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是____，cos∠BDC＝____.解析在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，则sin∠ABC＝sin∠CBD＝，所以S△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝.因为BD＝BC＝2，所以∠BDC＝∠ABC，则cos∠BDC＝＝.9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若b－c＝a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为__－__.解析由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝c.又∵b－c＝a，∴c＝a，即a＝2c.由余弦定理，得cosA＝＝＝＝－.三、解答题10．(2018·河北邢台质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝2asinB，tanA＞0.(1)求角A的大小；(2)若b＝1，c＝2，△ABC的面积为S，求.解析(1)∵b＝2asinB，∴sinB＝2sinA·sinB，sinB>0，∴sinA＝，∵tanA>0，∴A为锐角，∴A＝.(2)∵a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋12－4×＝7，∴a＝.又S＝bcsinA＝，∴＝.11．(2018·河南重点高中期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝.(1)判断△ABC的形状并加以证明；(2)当c＝1时，求△ABC周长的最大值．解析(1)∵＝－，即cosA＝，∴b＝ccosA＝c·，即c2＝b2＋a2，∴△ABC为直角三角形．(2)∵c为直角△ABC的斜边，当c＝1时，周长L＝1＋sinA＋cosA＝1＋sin.∵0c.已知BA·BC＝2，cosB＝，b＝3，求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．解析(1)由BA·BC＝2，得c·acosB＝2，又cosB＝，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB．又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.由解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为a>c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝＝＝.由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.因为a＝b>c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinB·sinC＝×＋×＝.
