高考必考题突破讲座(四)立体几何中的直线、平面的位置关系[解密考纲]立体几何问题是高考的重要内容，每年都考查一个解答题，两个选择或填“”空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用论证与计算相结合的模式．考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等，难度中等．1．(2017·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.解析(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.2．如图，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝1，∠ABC＝∠DBC＝120°.(1)在直线BC上求作一点O，使BC⊥平面ADO，写出作法并说明理由；(2)求三棱锥A－BCD的体积．解析(1)作AO⊥BC，交CB延长线于点O，连接DO，AO，则BC⊥平面ADO.证明如下： AB＝DB，OB＝OB，∠ABO＝∠DBO，∴△ABO≌△DBO，则∠AOB＝∠DOB＝90°，即OD⊥BC.又 AO∩OD＝O，AO⊂平面ADO，OD⊂平面ADO，∴BC⊥平面AOD.(2) △ABC和△DBC所在的平面互相垂直，平面ABC∩平面DBC＝BC，AO⊂平面ABC，∴AO⊥平面BCD，即AO是三棱锥A－BCD底面BCD上的高，在Rt△AOB中，AB＝1，∠ABO＝60°，∴AO＝ABsin60°＝.又 S△BCD＝BC·BD·sin∠CBD＝，∴V三棱锥A－BCD＝·S△BCD·AO＝××＝.3．如图，直角三角形ABC中，A＝60°，沿斜边AC上的高BD将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．(1)求证：PE⊥BD；(2)过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB的中点，若PE∥平面DMN，求的值．解析(1)证明： BD⊥PD，BD⊥CD，且PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，∴BD⊥平面PCD.又PE⊂平面PCD，∴BD⊥PE.(2)由题意，得BM＝BC，取BC的中点F，则PF∥MN.又PF⊄平面DMN，MN⊂平面DMN，∴PF∥平面DMN.又 PE∥平面DMN，PE∩PF＝P，∴平面PEF∥平面DMN，平面PEF∩平面BDC＝EF，平面DMN∩平面BDC＝DM，∴EF∥DM，∴＝＝.4．(2018·广东七校联考)已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，AD＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点．(1)证明：平面PCD⊥平面PDE；(2)若PD＝AD，求点E到平面PBC的距离．解析(1)证明： PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AB，连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴△DAB为等边三角形，又E为AB的中点，∴AB⊥DE，又PD∩DE＝D，∴AB⊥平面PDE， CD∥AB，∴CD⊥平面PDE. CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PDE.(2) AD＝2，∴PD＝2，在Rt△PDC中，PC＝4，同理PB＝4，易知S△PBC＝，S△EBC＝，设点E到平面PBC的距离为h，连接EC，由VP－EBC＝VE－PBC，得S△EBC·PD＝S△PBC·h，∴h＝.5．(2018·广东惠州调研)如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ABC＝60°，AA1＝AC＝2，A1B＝A1D＝2，点E在A1D上．(1)证明：AA1⊥平面ABCD；(2)当为何值时，A1B∥平面EAC，并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离．解析(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝2，在△AA1B中，由AA＋AB2＝A1B2，知AA1⊥AB，同理AA1⊥AD，又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以AA1⊥平面ABCD.(2)当＝1时，A1B∥平面EAC.证明如下：如图，连接BD交AC于点O，当＝1，即点E为A1D的中点时，连接OE，则OE∥A1B，又A1B⊄平面EAC，所以A1B∥平面EAC.直线A1B与平面EAC之间的距离等于点A1到平面EAC的距离，因为E为A1D的中点，所以点A1到平面EAC的距离等于点D到平面EAC的距离，VD－EAC＝VE－ACD，设AD的中点为F，连接EF，则EF∥AA1，且EF＝1，所以EF⊥平面ACD，可求得S△ACD＝，所以VE－ACD＝×1×＝.又AE＝，AC＝2，CE＝2，所以S△EAC＝，所以S△EAC·d＝(d表示点D到平面EAC的距离)，解得d＝，所以直线A1B与平面EAC之间的距离为.6．如图，已知三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A...
