第 5 讲 导数及其应用【高考考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查：一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义；二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题；三是应用导数解决实际问题．1． 导数的几何意义函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数值就是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2． 导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x)＝x3 在(－∞，＋∞)上单调递增，但 f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有 f′(x)＝0 时，则 f(x)为常数，函数不具有单调性．3． 函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．4． 四个易误导数公式及两个常用的运算法则(1)(sin x)′＝cos x.(2)(cos x)′＝－sin x.(3)(ax)′＝axln a(a>0，且 a≠1)．(4)(logax)′＝(a>0，且 a≠1)．(5)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(6)′＝(g(x)≠0).考点一 导数几何意义的应用例 1 (1)过点(1,0)作曲线 y＝ex 的切线，则切线方程为________．(2)(2013·南京模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，设 A 是曲线 C1：y＝ax3＋1(a>0)与曲线 C2：x2＋y2＝的一个公共点，若 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直，则实数 a 的值是________．答案 (1)e2x－y－e2＝0 (2)4解析 (1)设切点为 P(x0，ex0)，则切线斜率为 ex0，切线方程为 y－ex0＝ex0(x－x0)，又切线经过点(1,0)，所以－ex0＝ex0(1－x0)，解得 x0＝2，切线方程为 y－e2＝e2(x－2)，即 e2x－y－e2＝0.(2)设 A(x0，y0)，则 C1 在 A 处的切线的斜率为 f′(x0)＝3ax，C2 在 A 处的切线的斜率为－＝－，又 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直，所以(－)·3ax＝－1，即 y0＝3ax，1又 ax＝y0－1，所以 y0＝，代入 C2：x2＋y2＝，得 x0＝±，将 x0＝±，y0＝代...
