吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学二轮专题复习 平面向量教案 理

第 3 讲 平面向量【高考考情解读】 从近几年高考来看，平面向量有以下几个考查特点：1.向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题常以填空题形式出现，难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等．1． 平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为 0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为 0.(2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线 l 的斜率为 k，则 a＝(1，k)是直线 l 的一个方向向量．(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影．2． 平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，其中 e1，e2 是一组基底．3． 平面向量的两个充要条件若两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.4． 平面向量的三个性质(1)若 a＝(x，y)，则|a|＝＝.(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝＝.考点一 平面向量的概念及线性运算例 1 (1)(2013·江苏)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2 为实数)，则 λ1＋λ2 的值为________．(2)△ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 2，OA＋AB＋AC＝0 且|OA|＝|AB|，则向量CA在CB上的投影为________．答案 (1) (2)解析 (1)如图，DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，则 λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.(2)由OA＋AB＋AC＝0，得AB＋AC＝AO.又 O 为△ABC 外接圆的圆心，OB＝OC，∴四边形 ABOC 为菱形，AO⊥BC.由|OA|＝|AB|＝2，知△AOC 为等边三角形．故CA在CB上的投影为|CA|cos∠ACB＝2cos ＝.1 (1)在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算就类似于代数中合并同类项的运算；有的问题采用坐标化解决更简单．(2)运用向量加减法解决几何问题时，要善于发现...