吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.2.2 复合函数的求导法则学案 理 新人教 A 版选修 2-2教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数的运算法则导数运算法则1．函数导数12．3．（2）推论： （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。复合函数的导数 复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．若，则三．典例分析例 1 求 y ＝sin（tan x2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例 2 求 y ＝的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例 3 求 y ＝sin4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22 x＝1－（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．2【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例 4 曲线 y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线 y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．显然两切线间的距离等于点 Q 到此切线的距离，故所求距离为＝．四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x；（2）;(3)2.求的导数五．回顾总结六．布置作业3
