课时达标检测(二十九)数列的综合问题[——小题常考题点准解快解]1.(2018·安徽六安一中月考)已知数列{an}的通项公式为an=5-n,其前n项和为Sn,将数列{an}的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项,记{bn}的前n项和为Tn.若存在m∈N*,使对任意n∈N*,Sn≤Tm+λ恒成立,则实数λ的取值范围是()A.[2∞,+)B.(3∞,+)C.[3∞,+)D.(2∞,+)解析:选D依题意得Sn==,根据二次函数的性质,n=4,5时,Sn取得最大值为10.另外,根据通项公式得数列{an}的前4项为a1=4,a2=3,a3=2,a4=1,观察易知抽掉第二项后,余下的三项可组成等比数列.所以数列{bn}中,b1=4,公比q=,所以Tn==8,所以4≤Tn<8.因为存在m∈N*,对任意n∈N*,Sn≤Tm+λ恒成立,所以10<8+λ,所以λ>2.故选D.2.(2018·北京景山学校段测)已知数列{an}满足a1=1,P(an,an+1)(n∈N*)在直线x-y+1=0上,如果函数f(n)…=+++(n∈N*,n≥2),那么函数f(n)的最小值为()A.B.C.D.解析:选C将点P的坐标代入直线方程,得an+1-an=1,所以{an}是首项为1,公差为1的等差数列,所以an=n,所以f(n)…=+++,f(n+1)…=+++,所以f(n+1)-f(n)=+->+-=0,所以f(n)单调递增,故f(n)的最小值为f(2)=,故选C.3.(2018·江西金溪一中月考)据统计测量,已知某养鱼场,第一年鱼的质量增长率为200%,以后每年的增长率为前一年的一半.若饲养5年后,鱼的质量预计为原来的t倍.下列选项中,与t值最接近的是()A.11B.13C.15D.17解析:选B设鱼原来的质量为a,饲养n年后鱼的质量为an,q=200%=2,则a1=a(1+q),a2=a1=a(1+q)…,,a5=a(1+2)×(1+1)×××=a≈12.7a,即5年后,鱼的质量预计为原来的12.7倍,故选B.4.(2018·湖北襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前两步为:第一步:构造数列1…,,,,,.①第二步:将数列①的各项乘以,得到一个新数列a1,a2,a3…,,an.则a1a2+a2a3+a3a4…++an-1an=()A.B.C.D.解析:选C由题意知所得新数列为1×,×,×…,,×,所以a1a2+a2a3+a3a4…++an-1an====,故选C.5.(2018·辽宁盘锦高中月考)数列{an}满足a1=,an+1…=,若不等式+++