12＋4分项练4平面向量与数学文化1．(2018·贵阳模拟)如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB＝a，AC＝b，则AO等于()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b答案B解析 在△ABC中，BE是AC边上的中线，∴AE＝AC， O是BE边的中点，∴AO＝(AB＋AE)，∴AO＝AB＋AC， AB＝a，AC＝b，∴AO＝a＋b.2．已知向量a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8，则a在a＋b方向上的投影为()A.B.C.D.答案D解析由a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8，可知|a|＝＝2，(a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝64，则a·b＝－7，所以a在a＋b方向上的投影为＝＝＝.3．若两个非零向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2，则a与b的夹角为()A.B.C.D.答案C解析设a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]，则由|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2，得(2a＋b)2＝12，即(2a)2＋4a·b＋b2＝4＋4a·b＋4＝12，所以a·b＝1，所以cosθ＝，所以θ＝.4．(2018·上饶模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则AD·AE等于()A.B.C.D.答案C解析如图，|AB|＝|AC|＝2，〈AB，AC〉＝60°， D，E是边BC的两个三等分点，∴AD·AE＝·＝·＝|AB|2＋AB·AC＋|AC|2＝×4＋×2×2×＋×4＝.5．(2018·烟台模拟)如果＝2，＝3，a·b＝4，则的值是()A．24B．2C．－24D．－2答案B解析由＝2，＝3，a·b＝4，得＝＝＝＝2.6．(2018·昆明模拟)程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为()A．65B．176C．183D．184答案D解析根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，解得a1＝65.由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，则给出下列结论：①HD·BF＝0；②OA·OD＝－；③OB＋OH＝－OE；④|AH－FH|＝.其中正确结论的个数为()A．4B．3C．2D．1答案B解析正八边形ABCDEFGH中，HD⊥BF，∴HD·BF＝0，故①正确；OA·OD＝1×1×cos＝－，故②正确；OB＋OH＝OA＝－OE，故③正确；|AH－FH|＝|AF|＝|OF－OA|，则|AF|2＝1＋1－2×1×1×cos＝2＋，∴|AF|＝，故④错误．综上，正确的结论为①②③，故选B.8．(2018·芜湖模拟)我国古代数学著作《九章算术》中有一道题目，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？如图是源于其思想的一个程序框图，若输出的S＝2(单位：升)，则输入k的值为()A．6B．7C．8D．9答案C解析阅读程序框图，初始化数值n＝1，S＝k，循环结果执行如下：第一次：n＝1<4成立，n＝2，S＝k－＝；第二次：n＝2<4成立，n＝3，S＝－＝；第三次：n＝3<4成立，n＝4，S＝－＝；第四次：n＝4<4不成立，输出S＝＝2，解得k＝8.9．(2018·聊城模拟)在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则PA·PB＋PA·PC的最小值为()A．1B．2C．－2D．－1答案C解析建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A(0,2)．设点P的坐标为(x，y)，则PA＝，PO＝(－x，－y)，故PA·PB＋PA·PC＝PA·＝2PA·PO＝2＝2－2≥－2，当且仅当x＝0，y＝1时等号成立．所以PA·PB＋PA·PC的最小值为－2.10．(2018·石家庄模拟)三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的直角三角形(直角边长之比为1∶)围成的一个大正方形，中间部分是一个小正方形，如果在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是()A.B.C．1－D．1－答案C解析由题意可知，设直角三角形的直角边长分别为k，k(k>0)，则大正方形的边长为2k，小正方形的边长为(－1)k，所以大正方形的面积为4k2，小正方形的面积为(－1)2k2，故所求概率为＝1－.11．(2018·...
