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高考数学二轮复习 压轴大题突破练(三)函数与导数(1)理试题VIP免费

高考数学二轮复习 压轴大题突破练(三)函数与导数(1)理试题_第1页
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(三)函数与导数(1)1.(2018·江南十校模拟)设f(x)=xlnx-ax2+(3a-1)x.(1)若g(x)=f′(x)在[1,2]上单调,求a的取值范围;(2)已知f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.解(1)由f′(x)=lnx-3ax+3a,即g(x)=lnx-3ax+3a,x∈(0,+∞),g′(x)=-3a,①g(x)在[1,2]上单调递增,∴-3a≥0对x∈[1,2]恒成立,即a≤对x∈[1,2]恒成立,得a≤;②g(x)在[1,2]上单调递减,∴-3a≤0对x∈[1,2]恒成立,即a≥对x∈[1,2]恒成立,得a≥,由①②可得a的取值范围为∪.(2)由(1)知,①当a≤0时,f′(x)在(0,+∞)上单调递增,∴x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在x=1处取得极小值,符合题意;②当01,又f′(x)在上单调递增,∴x∈(0,1)时,f′(x)<0,x∈时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,1)上单调递减,在上单调递增,f(x)在x=1处取得极小值,符合题意;③当a=时,=1,f′(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意;④当a>时,0<<1,当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意.综上所述,可得a的取值范围为.2.(2018·河南省郑州外国语学校调研)已知函数f(x)=alnx-ex.(1)讨论f(x)的极值点的个数;(2)若a∈N*,且f(x)<0恒成立,求a的最大值.参考数据:x1.61.71.8ex4.9535.4746.050lnx0.4700.5310.588解(1)根据题意可得f′(x)=-ex=(x>0),当a≤0时,f′(x)<0,函数是减函数,无极值点;当a>0时,令f′(x)=0得a-xex=0,即xex=a,又y=xex在(0,+∞)上是增函数,且当x→+∞时,xex→+∞,所以xex=a在(0,+∞)上存在一解,不妨设为x0,所以函数y=f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,所以函数y=f(x)有一个极大值点,无极小值点.综上,当a≤0时,无极值点;当a>0时,函数y=f(x)有一个极大值点,无极小值点.(2)因为a∈N*>0,由(1)知,f(x)有极大值f(x0),且x0满足x00ex=a,①可知f(x)max=f(x0)=alnx0-0ex,要使f(x)<0恒成立,即f(x0)=alnx0-0ex<0,②由①可得0ex=,代入②得alnx0-<0,即a<0,因为a∈N*>0,所以lnx0-<0,因为ln1.7-<0,ln1.8->0,且y=lnx0-在(0,+∞)上是增函数.设m为y=lnx0-的零点,则m∈(1.7,1.8),可知00,a<,令g(x)=,x∈(1,m),则g′(x)=<0,所以g(x)在(1,m)上是减函数,且≈10.29,≈10.31,所以10.290,m(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,m′(x)<0,m(x)单调递减.m(x)有极大值,又 x∈(0,1]时,m(x)≤0;当x∈(1,+∞)时,01时,h′(x)=f′(x)+g′(x)>0恒成立,即lnx+ex-2ax+2a-e>0恒成立,令t(x)=lnx+ex-2ax+2a-e,∴t′(x)=+ex-2a,设φ(x)=+ex-2a,φ′(x)=ex-, x>1,∴ex>e,<1,∴φ′(x)>0,∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增,即t′(x)在(1,+∞)上单调递增,∴t′(x)>t′(1)=1...

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