(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2018·唐山模拟)已知点A(－2,0)，点B(－1,0)，点C(1,0)，动圆O′与x轴相切于点A，过点B的直线l1与圆O′相切于点D，过点C的直线l2与圆O′相切于点E(D，E均不同于点A)，且l1与l2交于点P，设点P的轨迹为曲线Γ.(1)证明：|PB|＋|PC|为定值，并求Γ的方程；(2)设直线l1与Γ的另一个交点为Q，直线CD与Γ交于M，N两点，当O′，D，C三点共线时，求四边形MPNQ的面积．解(1)由已知可得|PD|＝|PE|，|BA|＝|BD|，|CE|＝|CA|，所以|PB|＋|PC|＝|PD|＋|DB|＋|PC|＝|PE|＋|PC|＋|AB|＝|CE|＋|AB|＝|AC|＋|AB|＝4>2＝|BC|，所以点P的轨迹Γ是以B，C为焦点的椭圆(去掉与x轴的交点)，可求得Γ的方程为＋＝1(y≠0)．(2)由O′，D，C三点共线及圆的几何性质，可知PB⊥CD，又由直线CE，CA为圆O′的切线，可知|CE|＝|CA|，|O′A|＝|O′E|，所以△O′AC≌△O′EC，进而有∠ACO′＝∠ECO′，所以|PC|＝|BC|＝2，又由椭圆的定义，|PB|＋|PC|＝4，得|PB|＝2，所以△PBC为等边三角形，即点P在y轴上，点P的坐标为(0，±)．(ⅰ)当点P的坐标为(0，)时，∠PBC＝60°，∠BCD＝30°，此时直线l1的方程为y＝(x＋1)，直线CD的方程为y＝－(x－1)，由整理得5x2＋8x＝0，得Q，所以|PQ|＝，由整理得13x2－8x－32＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＋x2＝，x1x2＝－，|MN|＝|x1－x2|＝，所以四边形MPNQ的面积S＝|PQ|·|MN|＝.(ⅱ)当点P的坐标为(0，－)时，由椭圆的对称性，得四边形MPNQ的面积为.综上，四边形MPNQ的面积为.2．(2018·合肥模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>1)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，⊙F2：(x－c)2＋y2＝1与该椭圆有且只有一个公共点．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P(4c,0)的直线与⊙F2相切，且与椭圆相交于A，B两点，求证：F2A⊥F2B；(3)过点P(4c,0)的直线l与⊙F1：(x＋1)2＋y2＝r2(r>1)相切，且与椭圆相交于A，B两点，试探究kF2A，kF2B的数量关系．(1)解 ⊙F2与椭圆有且只有一个公共点，∴公共点为(a,0)或(－a,0)，若公共点为(－a,0)，则a＋c＝1，又＝，解得a＝<1，与a>1矛盾，故公共点为(a,0)．∴a－c＝1，又e＝＝，∴a＝2，c＝1.反之，当c＝1时，联立解得满足条件．∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)证明 P(4,0)，设过P(4,0)的直线l的方程为x＝my＋4，联立得(4＋3m2)y2＋24my＋36＝0，由Δ＝576m2－144(4＋3m2)>0，得m2>4.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝，又F2(1,0)，∴F2A·F2B＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(1＋m2)y1y2＋3m(y1＋y2)＋9＝－＋9＝.由l：x＝my＋4与⊙F2：(x－1)2＋y2＝1相切得m2＝8，满足m2>4，∴F2A·F2B＝0，即F2A⊥F2B.(3)解猜想：2FAk＋2FBk＝0.证明如下：由(2)得2FAk＋2FBk＝＋＝. 2my1y2＋3(y1＋y2)＝2m×－＝0，∴2FAk＋2FBk＝0.3．(2018·成都模拟)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1的左、右焦点．若P是该椭圆上的一个动点，PF1·PF2的最大值为1.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线x＝ky－1与椭圆E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′(A′与B不重合)，则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．解(1)由题意得a＝2，c＝，b<4，∴F1(－，0)，F2(，0)．设P(x，y)，则PF1＝(－－x，－y)，PF2＝(－x，－y)，即PF1·PF2＝x2＋y2－(4－b)＝x2＋b－－4＋b＝x2＋2b－4， x∈[－2,2]，∴当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1·PF2有最大值1，即1＝×4＋2b－4，解得b＝1，故所求的椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)由消去x，整理得(k2＋4)y2－2ky－3＝0，显然Δ＝4k2＋12(k2＋4)＝16k2＋48>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(x1，－y1)，故y1＋y2＝，y1·y2＝.∴经过点A′(x1，－y1)，B(x2，y2)的直线方程为＝，令y＝0，则x＝y1＋x1＝＝，又x1＝ky1－1，x2＝ky2－1，∴x＝＝＝＝＝－4，即当x＝－4时，y＝0.∴直线A′B与x轴交于定点(－4,0)．4．(2018·济南模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p>0)，斜率为k(k≠0)的直线l经过C的焦点，且与C交于A，B两点，满足OA·OB＝－.(1)求抛物线C的方程；(2)已知线段AB的垂直平分线与抛物线C交于M，N两点，R为线段MN的中点，记点R到直线AB的距离为d...
